Es uniformemente convergente límite derivado

Question

Si tenemos en cuenta la secuencia de las funciones: $g{n}(x)=\frac{f(x+h{n})-f(x)}{h{n}}$ donde $h{n}>0$ es una secuencia de números verdaderos convergentes a $0$ y $f$ es una función de $C^{1}$. ¿Cómo puede mostrar que la secuencia {$g_{n}$} es uniformemente convergente?

Answer 1

La declaración es incorrecta. Para un contraejemplo, considere $f(x)=\ln(x)\in C^1(0,1)$.

A prueba de Considerar el $h_n=\frac1n$. Que $\epsilon = \ln(2)-1$ y considerar cualquier $N\in \Bbb{N}$. Considerar el $x= \frac1N$. Entonces $|g_N(x)-g(x)|=\left|\frac{\ln((x+\frac1N)/x)}{\frac1N}-\frac1x\right|=\left| N\ln\left( 1+\frac{1}{Nx}\right)-\frac1x\right|=N(\ln(2)-1)\geq\epsilon$

Answer 2

Sugerencia: Use el teorema del valor medio para demostrar que

$$|g_n(x)-f'(x)|=|f'(x+\theta_n (x)h_n)-f'(x)|$$

$0

A continuación, utilice la continuidad de $f'$ para demostrar que para cualquier $\epsilon$ allí existe un número $N$, que $n>N$ implica que

$$|g_n(x)-f'(x)|=|f'(x+\theta_n (x)h_n)-f'(x)|

Recuerda que el $0