He determinado
$$A={(X,Y,Z,T)\in V\mid Y\neq 0 \textrm{ or } T\neq 0}\subset \textrm{dom }f$$
Sin embargo no estoy seguro de cómo mostrar que $A=\textrm{dom }f$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $W = V(Y,T)$ y tenga en cuenta que $W$ está contenido en $V$. Se demostró que $V - W$ está contenido en $\text{dom}\,f$. Aquí es cómo ver a la igualdad. Las coordenadas de $\mathbb{A}^4$ $X$, $Y$, $Z$, $T$. Supongamos que$$f = X/Y = Z/T$$in $k(V)$ is defined at a point $p = (a,0,b,0)$. Then there are $g$, $h$ in $k[X,Y,Z,T]$ such that $f = g/h$ in $k(V)$ and $h(p)$ is nonzero, so that $g(p)/h(p)$ se define. Considerar las siguientes definiciones.
Definición 1. Deje $V$ ser una irreductible afín variedad en $k^n$. Llamamos a $QF(k[V])$ el campo de función (o campo de funciones racionales) en $V$, y se denota este campo por $k(V)$.
Definición 2. Deje $V \subset k^m$ $W \subset k^n$ ser irreductible afín variedades. Una racional asignación de $V$ $W$es una función de $\phi$ representado por$$\phi(x_1, \ldots, x_m) = \left( {{f_1(x_2, \ldots, x_m)}\over{g_1(x_1, \ldots, x_m)}}, \ldots, {{f_n(x_1, \ldots, x_m)}\over{g_n(x_1, \ldots, x_m)}} \right),$$where $f_i/g_i \in k(x_1, \ldots, x_m)$ satisfacer:
(i) $\phi$ está definido en algún punto de $V$.
(ii) Para cada $(a_1, \ldots, a_m) \in V$ donde $\phi$ está definido, $\phi(a_1, \ldots, a_m) \in W$.
Definición 3. Vamos $\phi$, $\psi: V \mathrel{-\,}\rightarrow W$ ser racional asignaciones representado por$$\phi = \left({{f_1}\over{g_1}}, \ldots, {{f_n}\over{g_n}}\right) \text{ and } \psi = \left({{h_1}\over{k_1}}, \ldots, {{h_n}\over{k_n}}\right).$$Then we say that $\phi = \psi$ if for each $i$, $1 \le i \le n$,$$f_ik_i - h_ig_i \in I(V).$$
Apliquemos la Definición de 3 a $X/Y$ $g/h$ y también a$Z/T$$g/h$. Esto le da $Xh -gY$, $Zh-gT \in \langle XT-YZ\rangle$, así$$Xh -gY = B(XT-YZ) \text{ and }Zh - gT = C(XT-YZ) \text{ for some polynomials }B,C \text{ in }k[X,Y,Z,T].$$Multiply the first equation by $T$ and the second by $$ Y y restar. Esto le da $$h(XT-YZ) = (BT-CY)((XT-YZ) \implies h = BT-CY.$$Then $$h(p) = B(a,0,b,0) 0 - C(a,0,b,0) 0 = 0,$$which is a contradiction. A similar argument shows that $g = BZ CX$, so that$$f = (BZ-CX)/(BT-CY).$$The geometric intuition is that on $V$, the only ways to represent the rational function $f$ are $(BZ-CX)/(BT-CY)$ (note that $X/Y$ and $Z/T$ are special cases of this). The set $P$ es donde todas estas representaciones no se define.
