Espectro de un operador de proyección ortogonal

Question

Quiero mostrar que$ \sigma(p) = \{ 0,1 \} $ para cualquier operador de proyección ortogonal$ p \notin \{ 0,I \} $ en un espacio de Hilbert$ \mathcal{H} $. Recuerde que un operador de proyección ortogonal$ p $ en$ \mathcal{H} $ es un operador lineal acotado tal que$ p = p^{*} = p^{2} $. ¿Qué debo hacer para demostrar esto?

Suponer que $ \alpha \in \sigma(p) $. Entonces,$ p - \alpha I $ no es invertible, pero ¿qué sigue? No puedo imaginar cómo llegar a$ \alpha \in \{ 0,1 \} $. Gracias. :)

Answer 1

Para cualquier$\alpha\in \mathbb{C}$ y$\alpha\neq 0, 1$, es fácil verificar que$(\alpha-P)^{-1}=\frac{1}{\alpha}(I+\frac{P}{\alpha-1})$. Y es obvio que$P, I-P$ son ambas proyecciones que no son iguales a$I$, por lo que ninguna de ellas es invertible, así que hemos terminado.

Answer 2

Si $A$ es un uno mismo-adjoint, operador compacto en un espacio de Hilbert $H$ e si $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es un polinomio, entonces $\sigma(f(A))=f(\sigma(A))$. (Esto es en general para la continua asignaciones de $\sigma(A)$$\mathbb{C}$).

Una proyección es auto-adjunto y compacto, y si usted toma el polinomio $f(z)=z^2-z$ usted obtener ese $f(p)=0$, por lo $\sigma(f(p))=\{0\}$, por lo tanto $\sigma(p)\subset f^{-1}(\{0\})=\{0,1\}$. Es fácil comprobar que ambas son autovalores: $p$ tiene un núcleo, por lo tanto,$0\in\sigma(p)$, y por cada $v\in H$, $p(p(v))-p(v)=0$, por lo tanto, $p-I$ no es uno-a-uno ($p(v)\in\ker(p-I)$$p(v)$ es distinto de cero para algunos $v\in H$, de lo contrario $p=0$$\sigma(p)=\{0\}$).