Factor $1+x+x^2+x^3+...+x^{14}$ Factoriza $1+x+x^2+x^3+...+x^{14}$

Question

En una tarea anterior, se me pidió factorizar $1+x+x^2+x^3$ para $x \in \mathbb{R}$, lo cual logré resolviendo

$1+x+x^2+x^3 = 0 \to $

$1+x(1+x+x^2) = 0 \to $

$x(1+x+x^2) = -1

lo cual tiene una solución $x = -1$, y así supe que $(x+1)$ era un factor. Un poco de intuición me dio $(x+1)(x^2+1)$.

Ahora se me pide factorizar $1+x+x^2+x^3+...+x^{14}$ para $x \in \mathbb{R}$ y estoy un poco atrapado. De nuevo, tenemos la implicación $x(1+x+x^2+...+x^{13}) = -1$, para la cual $x=-1$ es una solución, así que de nuevo tenemos un factor $x+1$. Pero ahora no puedo aplicar la intuición para determinar el resto de los factores, así que siento que hay algún tipo de conclusión que puedo sacar acerca de los exponentes (quizás su paridad) para resolver este problema?

Answer 1

Ten cuidado al concluir que $x=-1$ debe ser una solución a partir de $x(1+x+x^2+...+x^{13}) = -1$:

$$\textrm{Cuando}\;\; x = -1,\;\; x(1+x+x^2+...+x^{13}) = -1 [7(1) + 7(-1)] = -1(0) = 0\neq -1$$

Answer 2

Cuando tienes una serie geométrica con un número compuesto de términos, puedes factorizarla en dos series con un número de términos que coincida con los factores. En tu caso $1+x+x^2+x^3+…+x^{14}=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9+x^{12})$. Hay otra factorización en esta dirección, ¿puedes encontrarla? Ahora tienes dos factorizaciones diferentes: deben estar compuestas por los mismos polinomios irreducibles- intenta tomar los máximos comunes divisores.

Answer 3

La mejor forma es usar polinomios ciclotómicos. $$1+x+x^2+x^3+...+x^{14}=\Phi_3(x)\cdot\Phi_5(x)\cdot\Phi_{15}(x)\ .$$ Desde $x^{n+1}-1=\prod_{d \mid n+1}\Phi_d(x)$ (si factorizamos $\Phi_1(x)=x-1$) obtenemos $1+x+x^2+x^3+...+x^{n}=\prod_{d \mid n+1, d\neq1}\Phi_d(x).

Answer 4

Tenga en cuenta que el polinomio tiene 15 términos, así que intente agruparlo en 5 grupos de 3:

$$ 1 + x + x^2 + \cdots + x^{14} =\\ =(1+x+x^2) + x^3(1+x+x^2)+ x^6(1+x+x^2) + x^9(1+x+x^2)+ x^{12}(1+x+x^2)$$

y luego factorice $(1+x+x^2)$

Answer 5

Usando el hecho

$$ x^n-1 = (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-1}),$$

nuestro polinomio se puede escribir en la forma

$$ 1+x+x^2+x^3+…+x^{14} = \frac{x^{15}-1}{x-1}. $$

Ahora, podemos encontrar las raíces de $ x^{15} - 1 $ utilizando las técnicas de variable compleja

$$ x^{15}=1=e^{i2k\pi} \implies x = e^{\frac{i2k\pi}{15}},\quad k=0,1,2,\dots,14. $$

Entonces, nuestro polinomio se puede escribir como

$$ 1+x+x^2+\dots+x^{14} =(x-e^{\frac{i2\pi}{15}})(x-e^{\frac{i4\pi}{15}})\dots (x-e^{\frac{i28\pi}{15}})$$

$$ = \Pi_{m=1}^{14}(x-e^{\frac{i2m\pi}{15}}). $$

Nota que, $$ e^{i\theta}= cos(\theta)+i\sin(\theta) $$ $$ e^{2k\pi i} = 1,\quad k\in \mathbb{Z}. $$