Ecuación matricial con forma cuadrática

Question

Estoy trabajando en un problema que involucra distribuciones normales multivariadas y, en un punto dado, necesito resolver la siguiente ecuación matricial:

$$x=\sqrt{x^{\prime}\Sigma^{-1}x} \cdot y$$

Donde $x$ es un $N\times1$ vectorial, $\Sigma$ es un $N\times N$ matriz de varianza-covarianza (por tanto, simétrica, definida positivamente y con cada elemento positivo), y $y$ es un $N\times1$ vector ( $y$ puede tomar valores positivos y negativos).

Estoy interesado en una solución (ojalá explícita) para $x$ en función de $\Sigma$ y $y$ que son parámetros conocidos.

Hay una solución trivial $x=0$ y esta es la única solución cuando $N=1$ . Mi pregunta es: ¿Existen otras soluciones cuando $N>1$ ? ¿Cómo se pueden caracterizar?

Answer 1

Debe tener $x \in \text{sp}\{y\}$ . Configurar $x=\lambda y$ da la ecuación $\lambda y =|\lambda | \left(\sqrt{y' \Sigma^{-1} y} \right) y$ que tiene solución si $\lambda = 0$ o si $ y' \Sigma^{-1} y =1$ .