¿Libremente homotópicas mapas inducir el mismo homomorfismo de grupos fundamentales?

Question

Deje $f,g\colon X\to Y$ dos continuo mapas que son de libre homotópica, de tal manera que hay algunos $x_0\in X$$f(x_0)=g(x_0)$. Es cierto que la inducida por homomorphisms $f_*,g_*\colon \pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,f(x_0))$ son iguales?

Al $f,g$ señaló homotópica relativa $x_0$, la declaración sostiene. Cuando sólo tenemos un libre homotopy $H$$H(-,0)=f, H(-,1)=g$, obtenemos $f_*=\phi_\sigma\circ g_*$ donde $\sigma=H(x_0,-)$ es la ruta recorrida por $f(x_0)$ durante el homotopy $H$ $\phi_\sigma$ es el automorphism de $\pi_1(Y,f(x_0))$$[\omega]\mapsto[\sigma\omega\overline{\sigma}]$. Por lo tanto el problema se reduce a la pregunta de si $\phi_\sigma=\operatorname{id}$ para el bucle $\sigma=H(x_0,-)$?

Answer 1

Jajaja Que $X = S^1$ (nota que si hay un contraejemplo y luego componer con un bucle que distingue los mapas inducidos en grupos fundamentales demuestra que hay es un contraejemplo que $X = S^1$) y sea $Y$ cualquier espacio con nonabelian grupo fundamental. Elige un lazo $h \in \pi_1(Y)$ tal que existe $g \in \pi_1(Y)$ $ghg^{-1} \neq h$ y considerar la homotopía gratis de $h$ $ghg^{-1}$ de transporte el lazo alrededor de $g$.

Answer 2

$\phi_\sigma$ es un automorfismo interno de grupo $\pi_1(Y,f(x0))$, es decir, verbal por $[\sigma]$. Así $f=g_$ si y sólo si $[\sigma]$ está en el centro del grupo $\pi_1(Y,f(x_0))$.

Answer 3

Que $h :X \times I \to Y$ ser una homotopía (posiblemente no-acentuado) $h:f\simeq g$, haz una ruta de acceso $a(t):=H(x,t)$ $f(x)$ $g(x)$. Verbal bajo $a$ define un isomorfismo $\gamma[a]:\pi_1(Y,f(x)) \to \pi1(Y,g(x))$, por medio de $[f]\mapsto [afa^{-1}]$. Ahora, lo cierto es que Obtén: $$\gamma[a]\circ f=g_$ $ por lo tanto los dos mapas coinciden hasta un isomorfismo (no canónico).