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Obstáculos para descender los ciclos invariantes de Galois

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva suave sobre $F$ y $E/F$ - extensión de Galois finita. Existe una extensión de escalares mapa $CH^\*(X) \to CH^\*(X_E)$ . La imagen cae en la parte invariante de Galois de $CH^\*(X_E)$ y en el caso de coeficientes racionales, todos los ciclos invariantes de Galois están en la imagen (EDIT: esto se deduce de tomar el argumento de la traza).

Con coeficientes enteros las clases invariantes de Galois no tienen que descender. Por ejemplo, para $CH^1(X) = Pic(X)$ hay una secuencia exacta: $$ 0 \to Pic(X) \to Pic(X_E)^{Gal(E/F)} \to Br(F), $$ por lo que podemos decir que la obstrucción para descender un ciclo reside en un grupo de Brauer.

¿Existen obstáculos conocidos para descender elementos de grupos superiores $CH^i$ con coeficientes enteros?

En mi caso tengo un ciclo en $CH^*(X_E)^{Gal(E/F)}$ y quiero averiguar si viene o no de $CH^*(X)$ .

(El ciclo real se describe en aquí .)

11voto

sorin Puntos 145

Mantengamos las anotaciones de arriba, y escribamos $G:=\mathrm{Gal}(E/F)$ . Permítanme recordar rápidamente el origen de la obstrucción de Brauer: en realidad proviene de la secuencia espectral de Hochschild-Serre

$$H^p(G,E^q(X_E,\mathbf{G}_m))\Longrightarrow E^{p+q}(X,\mathbf{G}_m)$$

(Estoy escribiendo $E^{\ast}=H^{\ast}_{\mathrm{et}}$ para la cohomología étale aquí, porque al sistema no parece gustarle demasiados subíndices). Si analizamos esto en grados bajos, nos da la siguiente secuencia exacta clásica (para cualquier $F$ -variedad $X$ ):

$$0\to H^1(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\mathrm{Pic}(X)\to H^0(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^2(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\ker\left[\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(X_E)\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^3(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))$$

Así que nos gustaría generalizar la secuencia anterior a la situación de $\mathrm{CH}^n(X)=H^n(X,\mathcal{K}_n)$ (donde $\mathcal{K}_n$ es la Zariski-sheafificación del presheaf $K_n$ ). Supongamos que $X$ geométricamente regular aquí. La resolución de Gersten de $\mathcal{K}_n$ en $X_E$ es el complejo

$$C^{\bullet}(X_E)\colon\quad K_nk(X_E)\to\bigoplus_{x\in X_E^1}K_{n-1}k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^2}K_{n-2}k(x)\to\cdots\to\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)$$

Hay un complejo similar $C^{\bullet}(X)$ dando la resolución Gersten de $\mathcal{K}_n$ en $X$ . Consideramos que el complejo $C^{\bullet}(X_E)$ como $G$ -complejo; escribir $\sigma$ para el mapa

$$C^{n-1}(X_E)=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}k(x)^{\times}=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)=Z^n(X_E)$$

de $G$ -módulos. Quiero argumentar que el núcleo de este mapa está jugando el papel de $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$ para una mayor $n$ . (Cuando $n=1$ este núcleo coincide con $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$ .)

Ahora podríamos esperar una secuencia espectral

$$H^p(G,H^q(C^{\bullet}(X_E)[n]))\Longrightarrow H^{p+q}(C^{\bullet}(X)[n])$$

pero por supuesto $K$ -no satisface del todo el descenso de Galois, por lo que no tenemos esta convergencia ( $C^{\bullet}(X)[n]$ no es el complejo de puntos fijos de homotopía de $C^{\bullet}(X_E)[n]$ ). Pero sólo estamos tratando de analizar un trozo muy pequeño de esta secuencia espectral: el trozo que implica $\sigma$ . Para ello, el Teorema 90 de Hilbert hace el trabajo, y obtenemos la siguiente secuencia exacta:

$$0\to H^1(G,\ker\sigma)\to\mathrm{CH}^n(X)\to H^0(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^2(G,\ker\sigma)\to\ker\left[H^2\left(G,C^{n-1}(X_E)\right)\to H^2(G,Z^n(X_E))\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^3(G,\ker\sigma)$$

Así que encontramos una obstrucción a los ciclos descendentes de codimensión $n$ en $H^2(G,\ker\sigma)$ . ¿Es este el tipo de cosas que tenías en mente?

6voto

Estimado Evgeny Shinder,

Para CH^2(X) se puede encontrar una "obstrucción" en una cohomología no ramificada.

Escribamos H^i_nr(X, \mu_l ^j) para la intersección de los núcleos de los mapas de residuos d_A en la cohomología de Galois, donde A se ejecuta sobre todos los anillos de valoración discreta con campo de fracciones F(X) que contiene F . Por ejemplo, si X es regular, hay que tener en cuenta todas las valoraciones procedentes de los puntos de codimensión uno, pero también las valoraciones procedentes de los divisores excepcionales de varias explosiones.

Si X es una variedad geométrica racional suave definida sobre un campo finito F (es decir, racional sobre un cierre algebraico \bar F de F ), se puede demostrar que el cokernel del mapa CH^2(X)->CH^2(X_{ \bar F})^G es isomorfo, hasta la p-torsión ( p=char F ), al grupo de cohomología no ramificada H^3_nr(X, Q/Z(2)) . También se pueden encontrar ejemplos cuando este último grupo es distinto de cero (véase http://arxiv.org/abs/1004.1897 ).

¿Le resulta útil?

Saludos cordiales,

Alena Pirutka.

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