Mantengamos las anotaciones de arriba, y escribamos $G:=\mathrm{Gal}(E/F)$ . Permítanme recordar rápidamente el origen de la obstrucción de Brauer: en realidad proviene de la secuencia espectral de Hochschild-Serre
$$H^p(G,E^q(X_E,\mathbf{G}_m))\Longrightarrow E^{p+q}(X,\mathbf{G}_m)$$
(Estoy escribiendo $E^{\ast}=H^{\ast}_{\mathrm{et}}$ para la cohomología étale aquí, porque al sistema no parece gustarle demasiados subíndices). Si analizamos esto en grados bajos, nos da la siguiente secuencia exacta clásica (para cualquier $F$ -variedad $X$ ):
$$0\to H^1(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\mathrm{Pic}(X)\to H^0(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^2(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))\to\ker\left[\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(X_E)\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{Pic}(X_E))\to H^3(G,E^0(X_E,\mathbf{G}_m))$$
Así que nos gustaría generalizar la secuencia anterior a la situación de $\mathrm{CH}^n(X)=H^n(X,\mathcal{K}_n)$ (donde $\mathcal{K}_n$ es la Zariski-sheafificación del presheaf $K_n$ ). Supongamos que $X$ geométricamente regular aquí. La resolución de Gersten de $\mathcal{K}_n$ en $X_E$ es el complejo
$$C^{\bullet}(X_E)\colon\quad K_nk(X_E)\to\bigoplus_{x\in X_E^1}K_{n-1}k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^2}K_{n-2}k(x)\to\cdots\to\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)$$
Hay un complejo similar $C^{\bullet}(X)$ dando la resolución Gersten de $\mathcal{K}_n$ en $X$ . Consideramos que el complejo $C^{\bullet}(X_E)$ como $G$ -complejo; escribir $\sigma$ para el mapa
$$C^{n-1}(X_E)=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}k(x)^{\times}=\bigoplus_{x\in X_E^{n-1}}K_1k(x)\to\bigoplus_{x\in X_E^n}K_0k(x)=Z^n(X_E)$$
de $G$ -módulos. Quiero argumentar que el núcleo de este mapa está jugando el papel de $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$ para una mayor $n$ . (Cuando $n=1$ este núcleo coincide con $E^0(X_E,\mathbf{G}_m)$ .)
Ahora podríamos esperar una secuencia espectral
$$H^p(G,H^q(C^{\bullet}(X_E)[n]))\Longrightarrow H^{p+q}(C^{\bullet}(X)[n])$$
pero por supuesto $K$ -no satisface del todo el descenso de Galois, por lo que no tenemos esta convergencia ( $C^{\bullet}(X)[n]$ no es el complejo de puntos fijos de homotopía de $C^{\bullet}(X_E)[n]$ ). Pero sólo estamos tratando de analizar un trozo muy pequeño de esta secuencia espectral: el trozo que implica $\sigma$ . Para ello, el Teorema 90 de Hilbert hace el trabajo, y obtenemos la siguiente secuencia exacta:
$$0\to H^1(G,\ker\sigma)\to\mathrm{CH}^n(X)\to H^0(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^2(G,\ker\sigma)\to\ker\left[H^2\left(G,C^{n-1}(X_E)\right)\to H^2(G,Z^n(X_E))\right]$$ $$\to H^1(G,\mathrm{CH}^n(X_E))\to H^3(G,\ker\sigma)$$
Así que encontramos una obstrucción a los ciclos descendentes de codimensión $n$ en $H^2(G,\ker\sigma)$ . ¿Es este el tipo de cosas que tenías en mente?