¿Por qué es $\log_{10}\pi \simeq 0.5$ ?

Question

Hoy he estado mirando mi regla de cálculo y me he dado cuenta de que la marca dedicada a $\pi$ está en la mitad de la escala:

Por supuesto, esto se debe a que $\log_{10}\pi \simeq 0.4971498$ que está muy cerca de $1\over2$ .

¿Hay alguna razón o derivación para esto, o es pura coincidencia?

Answer 1

Simplemente porque

$$\sqrt{10}=10^{\frac12}\approx 3.16 \approx \pi$$

En efecto,

$$y=\log_{10}\pi\iff10^y=\pi$$

así

$$y\approx \frac12$$

Answer 2

$\pi^2\approx 10$ no es una coincidencia. Desde $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ tenemos $$\pi^2 = 6+\sum_{n\geq 2}\frac{6}{n^2} \leq 6+\sum_{n\geq 2}\frac{6}{n^2-\frac{1}{4}}=10$$ y la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo es $$10-\pi^2=\sum_{n\geq 2}\frac{6}{n^2(4n^2-1)}\leq \frac{1}{10}+\sum_{n\geq 3}\frac{24}{(4n^2-9)(4n^2-1)}=\frac{29}{210}.$$

Answer 3

No veo una razón muy profunda para que esto sea así, pero la fracción continua de $\sqrt{10}$ es $3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{6 + \cdots}}$ y una fracción continua para $\pi$ es $3 + \frac{1}{6 + \frac{9}{6 + \cdots}}$ para que al menos estén de acuerdo con $3 + \frac{1}{6}$ que, al fin y al cabo, no es una estimación demasiado mala, ya que sólo tiene una diferencia de 2 en el segundo decimal.

Supongo que vale la pena señalar que una fracción continua general para las raíces cuadradas de la forma $\sqrt{a^2 + b} = a + \frac{b}{2a + \frac{b}{2a + \cdots}}$ entonces hay directamente no es mejor aproximación a $\pi$ por la raíz cuadrada de un número entero ya que $a$ se limita a ser $3$ y $b$ se limita a ser $1$ desde el principio.

No sé cómo considerar las cosas "coincidentes" a este nivel de mirarse el ombligo.

Answer 4

$$\pi \approx 3.141592654 \implies log(\pi ) \approx .497149873$$ $$\sqrt 10 \approx 3.162277660 \implies log \sqrt {10} =.5$$

No son iguales pero están muy cerca.