Intuición para la homotopía en cadena del lema de Poincaré.

Question

En la demostración del lema de Poincaré, Bredon construye esencialmente una homotopía en cadena entre la identidad y el mapa nulo. A saber, para un conjunto convexo abierto $U \subset \mathbb{R}^{n+1}$ que contiene el origen, construye $$\phi: \Omega^{p+1} (U) \to \Omega^{p}(U) $$ como sigue. Para $\omega=fdx_{j_0} \wedge \cdots dx_{j_p}$ define $$\phi(\omega)=\big(\int_0^1t^pf(tx)\big)\eta ,$$ donde $\eta=\sum_{i=0} ^p (-1)^i x_{j_i}dx_{j_0} \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_{j_i}} \wedge \cdots \wedge dx_{j_p}.$ Luego se extiende linealmente.

Ahora comprobar que es una homotopía de cadena es sólo computación. Lo que no entiendo es cómo se llega a esa idea.

¿Existe alguna intuición/motivación para considerar esta homotopía en cadena?

Answer 1

Ampliando los comentarios: Este es un caso especial de la homotopía de cadena asociada a una homotopía $M \times [0,1] \to N$ . En $\pi \colon M \times [0,1] \to M$ siendo la proyección, podemos dejar que $\phi = \pi_* \circ h^*$ $$ \Omega^{p+1}(N) \xrightarrow{h^*} \Omega^{p+1}(M \times [0,1]) \xrightarrow{\pi_*} \Omega^p(M) $$ donde $\pi_*$ es la integración a lo largo de la fibra. Entonces $$ d\circ \phi + \phi \circ d = h_1^* - h_0^* \colon \Omega^p(N) \to \Omega^p(M)$$ para que $\phi$ es una homotopía de cadena entre los mapas de cadena $h_0^*$ y $h_1^*$ .

En su caso tenemos una homotopía $h \colon U \times [0,1] \to U, h(x,t) = tx$ del mapa constante al mapa de identidad (que sólo existe porque $U$ es convexa en estrella alrededor de $0$ ). Entonces tenemos $h^*(dx_j) = t \,dx_j + x_j \,dt$ por lo que se puede calcular que, para $\omega=f \,dx_{j_0} \wedge \cdots dx_{j_p}$ , $$h^*(\omega)(x,t) = t^{p+1} f(tx) dx_{j_0} \wedge \cdots \wedge dx_{j_p} + t^p f(tx) \,dt \wedge \eta,$$ donde $\eta$ es como usted lo definió. Entonces integra: $$ \phi(\omega)(x) = \pi_*(h^*(\omega))(x) = \int_0^1 t^p f(tx) \,dt \cdot \eta.$$ Ahora $\phi$ es una homotopía de cadena entre $h_0^* = 0$ y $h_1^* = \operatorname{id}$ y ya está.