¿Por qué una norma y no alguna otra función que define una métrica?

Question

Si se define en un $\mathbb{R},\mathbb{C}$-espacio vectorial de una norma, esto da lugar a una métrica. ¿Por qué son particularmente asignaciones que satisfacen la norma los axiomas tan importante que en cada libro para principiantes en lineal álgebra/análisis funcional de las normas estudiadas ?

No hay también otras funciones que siempre dan lugar a una métrica, que vale la pena estudiar?

¿Cuáles son las propiedades que una norma inducida por la métrica tiene, lo que la hace tan especial (excepto por ser la traducción de todos los idiomas, $d(x+z,y+z)=d(x,y)$, y compatible con la multiplicación escalar, $d(\lambda x, \lambda y)= |\lambda | d(x,y)$; porque me imagino que habrá también otras asignaciones definidas en el espacio vectorial que dar, por otra regla de definición, de lugar a una traducción-invariante,la multiplicación escalar compatible métrica) ?

(Esta pregunta fue similar, pero realmente no es lo que estaba buscando - en caso de que alguien quiera redirigir a mí a esa pregunta).

Answer 1

El estándar de la noción de una métrica es más débil que el de una norma - ver la métrica discreta, por ejemplo. Mediante la adición de la multiplicativo condición, se introduce extra estructura en el espacio, que hace que sea más agradable y más intuitiva.

En efecto, como Asaf Karagila dice, la cosa realmente agradable acerca de la norma de normas en $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ es lo bien que lidiar con la estructura lineal en cada uno de estos espacios. Una manera de pensar acerca de las normas es que son métricas con la garantía adicional de que son multiplicativas.

La respuesta a la última parte de la pregunta es precisamente como Matthew Davis ha dicho - cualquier métrica que multiplicativo da automáticamente una norma. Sin duda hay espacios con las normas que satisfacer algo más que multiplicativity. Por ejemplo, la norma en un álgebra de Banach es submultiplicative, ie $|XY|<|X|\cdot|Y|$ todos los $X,Y\in B$.

Answer 2

Si una métrica$d$ en un espacio vectorial$V$ es invariante en la traducción y es compatible con la multiplicación escalar, en su sentido, defina$$\|x\| = d(x,0)$ $ Afirmo que esta es una norma:

• $\|x\|=0$ iff$d(x,0)=0$ iff$x=0$
• $\|\lambda x\| = d(\lambda x,0) = d(\lambda x,\lambda 0) = |\lambda| d(x,0) = |\lambda| \|x\|$
• $\|x+y\| = d(x+y,0) = d(x,-y) \leq d(x,0) + d(0,-y)$ (por la desigualdad del triángulo)$= d(x,0) + d(y,0) = \|x\| + \|y\|$

Entonces, en cierto sentido, respondiste tu propia pregunta.