Cómo probar $\sum\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\ge \frac34\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)$

Question

La pregunta es probar: $$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\ge \frac34\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)$ $ $$a,b,c>0$ $ traté de Cauchy, AM-GM, Jensen, etc. pero no tuvo mucha suerte. Gracias.

Answer 1

En realidad se puede hacer con Cauchy: $$ \left(\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right)\left(\sum_{cyc}\left(a(b+c)\right)^2\right)≥\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 $$ Por lo tanto es suficiente para probar: $$ \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)≥\frac{3}{4}\sum_{cyc}\left(a(b+c)\right)^2=\frac{3}{2}\sum_{cyc}a^2b^2+\frac{3}{2}\sum_{cyc}a^2bc $$ Después de poco simplificación, esto se reduce a: $$ \sum_{símbolo}a^3b≥\frac{3}{2}\sum_{cyc}a^2b^2+\frac{1}{2}\sum_{cyc}a^2bc $$ Ahora podemos ver que: $$ un^3b+b^3a≥2a^2b^2 $$ Y $$ un^3b+a^3c+ab^3+ca^3≥4a^2bc $$ Por AM-GM. Simétricamente la adición de estas desigualdades, se obtiene: $$ 2\sum_{símbolo}a^3b≥4\sum_{cyc}a^2b^2\\ 4\sum_{símbolo}a^3b≥8\sum_{cyc}a^2bc $$ Lo que produce directamente la desigualdad quedan por probar.

Answer 2

Sugerencia: creo que la desigualdad debe invertirse, prueba $a=1,b=2,c=3$ podemos probarlo por BW

Answer 3

Esta es una respuesta incompleta, pero creo que la última desigualdad es (correcta) y más fácil de probar.

Tenemos:

$$\bigg (\frac{a}{b+c} \bigg)^2 + \bigg (\frac{b}{a+c} \bigg)^2 + \bigg (\frac{c}{b+a} \bigg)^2 = \frac{a^4}{a^2(b+c)^2} + \frac{b^4}{b^2(a+c)^2} + \frac{c^4}{c^2(b+a)^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2(b+c)^2 + b^2(a+c)^2 + c^2(b+a)^2}$$

Basta para demostrar que: $$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2(b+c)^2 + b^2(a+c)^2 + c^2(b+a)^2} \geq \frac{3}{4} \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$ $ o equivalente: $$\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{a^2(b+c)^2 + b^2(a+c)^2 + c^2(b+a)^2} \geq \frac{3}{4} (*)$ $

El denominador puede ser escrito como: $2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) +2abc(a+b+c) = 2(ab+bc+ac)^2 - 2abc(a+b+c)$

Así $(*)$ se convierte en $$\frac{\bigg ((a+b+c)^2-2(ab+bc+ac) \bigg)(ab+bc+ac)}{(ab+bc+ac)^2 - abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2} (**)$ $

Que $S = a+b+c$, $P^3 = abc$, $X^2 = ab+bc+ac$, donde $X^2 \leq \frac{S^2}{3}$ así debemos mostrar que: $$7X^4 - 2S^2X^2 - 3SP^3 \leq 0$ $