$\sum\frac {a_n}{(1+a_1).... (1+a_n)}=1$ iff$\sum a_n $ diverges

Question

Mostrar si$a_n $ es positivo, entonces$\sum\frac {a_n}{(1+a_1).... (1+a_n)}=1$ iff$\sum a_n $ diverges. Me puse al lado derecho, saltando por n desde abajo, así que obtuve las últimas series de divegres, pero no pude obtener el otro lado. Me encantaría ver una idea por favor.

Answer 1

Insinuación.

Tiene para$n \ge 1$:$$ u_n=\frac{a_n}{(1+a_1) \cdots (1+a_n)}=\frac{1+a_n}{(1+a_1) \cdots (1+a_n)}-\frac{1}{(1+a_1) \cdots (1+a_n)}=v_{n-1}-v_n$$ where $$v_n=\frac{1}{(1+a_1) \cdots (1+a_n)}.$$ Hence $$\sum_{k=1}^n u_n = 1 - v_n.$$ Therefore, $$\sum \frac{a_n}{(1+a_1) \cdots (1+a_n)} = 1$$ if and only if $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} (1 + a_1) \ cdots (1 + a_n) = \ infty $.