O dicho de otra manera, no
$$\lim_{n \to \infty}\big(\max \{\sin 1, \sin 2, \ldots ,\sin n\}\big) = 1?$$
Mi intuición me dice que sí, pero ¿cómo se puede demostrar esto?
Respuestas
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Si $\alpha$ es cualquier número irracional, a continuación, $\{a+b\alpha: a,b\in\mathbb Z\}$ es denso en $\mathbb R$.
En particular, con $\alpha=2\pi$, podemos encontrar $a+2b\pi$ que es arbitrariamente cerca de $\frac{\pi}2$, y por lo tanto $\sin a$ puede hacerse arbitrariamente cerca de $1$.
La anterior afirmación, por supuesto, requiere de prueba, pero es la verdad.
La clave es que si usted toma la continuación de la fracción de expansión de $\alpha$ y escribir el $m$th convergente como $p_m/q_m$$|p_m-\alpha q_m|<\frac{1}{2q_{m-1}}$. Entonces, dado cualquier $x\in\mathbb R$, definir $$d_m = \left\lfloor \frac{x}{|p_m-\alpha q_m|}\right\rfloor$$. Then $$d_m|p_m-\alpha q_m| < x < (d_m+1)|p_m-\alpha q_m|$$ But the difference between the right and left side is less than $\frac{1}{2q_{m-1}}$, y hemos terminado.
Como Julien comentó, usted realmente necesita $a>0$. Esa no es una situación difícil de resolver. Podemos elegir incluso convergents, por lo que el $0<p_{2m}-\alpha q_{2m}<\frac{1}{2q_{2m-1}}$. Luego de hacer el cálculo anterior sin que los valores absolutos. En última instancia, su $n=d_{2m}p_{2m}$.
Mike
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De hecho, la magia de los elementos de la prueba del teorema de Hurwitz : existe una (universal) constante $c$ tal que para cada irracionales $\zeta$ hay infinitamente muchos racional approximants $\frac{m}{n}$$\left|\zeta-\dfrac{m}{n}\right| \lt \dfrac{c}{n^2}$; multiplicando este por $n$ obtenemos que existen infinitos $\frac{m}{n}$$\left|n\zeta-m\right|\lt\frac{c}{n}$. (Con más precisión, se requiere una ligera modificación de Hurwitz del teorema que dice que hay infinitamente muchos de esos approximants con $n$ curioso - pero esto es en realidad una fácil consecuencia de la habitual prueba del teorema a través de fracciones continuas.) Ahora, aplique esta con $\zeta=\frac{\pi}{2}$; a continuación, obtener que el entero $m$ es de menos de $\frac{c}{n}$ lejos de una extraña múltiples de $\pi/2$; si $\sin m$\lt 0 (es decir, si tenemos uno de los 'malo' múltiplos), entonces podemos reemplazar $m$ $-m$ para obtener un valor positivo para el pecado. Finalmente, esta aproximación nos permite obligado el valor de $\sin m$, desde abajo, por $1-\frac{c}{n}$.
Mark McClure
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Aquí es una prueba de densidad de la secuencia de $k\mod\pi$ en el intervalo de $[0,\pi]$ el uso de la encasillar regla general -, posiblemente, el que se alude en los comentarios de arriba.
Deje $\varepsilon>0$ y elija $n\in{\mathbb N}$ tal que $\pi/n<\varepsilon$. Por la encasillar principio, al menos una de las $n$ intervalos en el conjunto de $\cal I$ definido por
$${\cal I}=\{[m/n,(m+1)/n]\}_{m=0}^{n-1}$$
debe contener dos de la primera $n+1$ términos de la secuencia de $k\mod\pi$. Vamos a llamar a los términos de $i\mod\pi$$j\mod\pi$. Luego tenemos la $(i-j)\mod\pi<1/n$, de modo que cada intervalo en $\cal I$ contiene un número de la forma $k(i-j)\mod\pi$.
