Potencial escalar y potencial vector

Question

Que $D$ sea un subconjunto abierto simplemente conectado de $\mathbb{R}^3$. Es bien sabido que si es de ${\bf v}(x,y,z)=[P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)]$ $C^1$ funcionar en $D$ tal que $$\mbox{curl }\bf{v}=\bf{0}$de % $ entonces existe una función de $C^2$ $f(x,y,z)$ $D$ tal que % $$$ {\bf v}=\mbox{grad }f$$D$.

Mi pregunta es: ¿podemos utilizar este hecho para demostrar que si $\bf{w}$ es un campo del vector con $\mbox{div }\bf{w}=0$ $D$, entonces existe un vector campo $\bf{t}$ $D$ tal que $\mbox{curl }\bf{t}=\bf{w}$?

Puedo hacer esto para el caso 2-d.

Answer 1

Caso 1: Cuando el dominio de interés es el conjunto de la $\mathbb{R}^3$, la respuesta es sí. Se obtiene por la descomposición de Helmholtz para $C^1$-campo de vectores: $$\mathbf{w} = \nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} ,\etiqueta{1}$$ donde $$\phi(x) = -\int_{\mathbb{R}^3} \Phi(y-x) \nabla_y \cdot \mathbf{w} (y) \,dy, \\ \mathbf{A} (x) = \int_{\mathbb{R}^3} \Phi(y-x) \nabla_y \times \mathbf{w} (y)\,dy .$$ El $\Phi(\xi)$ es la solución fundamental a $-\Delta \Phi = \delta_0$ total $\mathbb{R}^3$. Aquí hemos de asumir la $\mathbf{w}$ tiene ciertas descomposición propiedades, de modo que la superficie de la integral de la $\displaystyle\int_{\partial B} \Phi(y-x)\mathbf{n}\times \mathbf{w} (y)\,dS(y)$ $\displaystyle\int_{\partial B} \Phi(y-x)\mathbf{n}\times \mathbf{w} (y)\,dS(y)$ desaparecer por la gran bola de $B$, $|\mathbf{w}|\to 0$ al $|y|\to \infty$ es suficiente.

Ahora si $\mathbf{w}$ es la divergencia libre, podemos ver que $\mathbf{w} = \nabla \times \mathbf{A}$.

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Caso 2: Cuando el dominio de interés, $\Omega$ es simplemente conectado, limitado y abierto, tenemos que considerar la condición de contorno de $\mathbf{w}$. El potencial en (1) se convierte en: $$\phi(x) = -\int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \cdot \mathbf{w} (y) \, dy +\int_{\partial \Omega}\Phi(y-x)\mathbf{w}(y)\cdot \mathbf{n}\,dS(y), \\ \mathbf{A}(x) = \int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \times \mathbf{w}(y)\,dy - \int_{\partial \Omega} \Phi(y-x)\mathbf{n}\times \mathbf{w}(y)\,dS(y).$$ Aquí $\Phi$ es el pilar fundamental de la solución o de la función de Green para $$\left\{\begin{aligned} -\Delta_y \Phi(y-x) &= \delta_x(y) \quad \text{in }\Omega, \\ \Phi &=0 \quad \text{on } \partial\Omega. \end{aligned}\right.$$ Tenemos el término aquí, por el teorema de la divergencia: $$\int_{\partial \Omega}\Phi(y-x)\mathbf{w}(y)\cdot \mathbf{n}\,dS(y) = \int_{\Omega}\nabla \cdot\Big(\Phi(y-x)\mathbf{w}(y)\Big)\,dy \\ = \int_{\Omega} \Phi(y-x) \nabla_y \cdot \mathbf{w} (y) \, dy + \int_{\Omega} \nabla_y \Phi(y-x) \cdot \mathbf{w} (y) \, dy= \int_{\Omega} \nabla_y \Phi(y-x) \cdot \mathbf{w} (y) \, dy.$$ Por lo tanto podemos ver que en este caso, $\mathbf{w} = \nabla \times \mathbf{A}$ si

• $\mathbf{w}$ es perpendicular al gradiente de campo de la solución fundamental pointwisely (o un.e.) en este dominio.

• $\mathbf{w}\cdot \mathbf{n}=0$ pointwisely (o un.e.) en el límite de este dominio.

Contraejemplos para no hacer término de desaparecer: en $\mathbb{R}^3$, vamos a $\phi$ ser la solución para el siguiente problema de valor de frontera

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta \phi&= 0\quad \text{in }\Omega, \\ \phi &=g \neq 0 \quad \text{on } \partial\Omega. \end{aligned}\right.$$ Podemos ver que si dejamos $\mathbf{w} = \nabla \phi$, es decir, el gradiente de una función armónica, $\mathbf{w}$ cero, con una divergencia, sin embargo, $\mathbf{w}$ nunca es una curvatura de campo.

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Este es el caso clásico, para que el vector de potencial (o de Helmholtz descomposición) en la distribución sentido, este es mi favorito de referencia: http://perso.univ-rennes1.fr/monique.dauge/publis/ABDG_VPot.pdf