¿Cuál es el significado de la frase "Hasta el isomorfismo" en Álgebra Abstracta en el contexto de-
- GRUPOS
- ANILLOS
- CAMPOS
Respuestas
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lhf
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En matemáticas importa menos qué cosas son que cómo se comportan.
Las cosas que se comportan exactamente de la misma manera pueden ser consideradas como iguales.
Los isomorfismos hacen que "comportarse exactamente igual" sea una noción precisa.
Con la definición adecuada de isomorfismo, este razonamiento puede extenderse a otros objetos matemáticos, como los espacios vectoriales, los espacios topológicos, las variedades diferenciables, etc.
mkoryak
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La otra respuesta y los comentarios ya han dicho mucho.
He aquí un ejemplo para reflexionar. Considere el conjunto $Z = \{0,1\}$ . Consideremos la operación de adición módulo $2$ . Es decir $$\begin{align} 0 + 0 &= 0 \\ 0 + 1 & = 1 \\ 1 + 0 &= 1 \\ 1 + 1 &= 0 \end{align} $$ En esta operación $Z$ se convierte en un grupo. (Puedes comprobar fácilmente los axiomas.) Ahora considera otro grupo.
Dejemos que $Y = \{1, -1\}$ . Entonces $Y$ y $X$ son conjuntos diferentes. Consideremos la operación de multiplicación. Es decir $$\begin{align} 1\cdot 1 &= 1 \\ 1\cdot (-1) &= -1 \\ -1\cdot 1 &= -1 \\ (-1)\cdot(-1) &= 1 \end{align} $$ En esta operación $Y$ es un grupo. Es técnicamente un grupo diferente porque $X$ y $Y$ son conjuntos diferentes. Uno tiene como operación la suma y el otro la multiplicación. Pero, como puedes ver en lo anterior, los grupos se comportan exactamente igual. No hay ninguna diferencia esencial entre los dos grupos. Decir esto es un poco vago, así que tenemos el concepto de grupos isomorfos. Dos grupos isomorfos son exactamente "esencialmente iguales".
Así que aquí está el punto: Toma dos símbolos/elementos cualesquiera. Ahora convierta el conjunto de estos dos elementos en un grupo definiendo alguna operación sobre el conjunto. El hecho es que no importa cómo lo hagas, siempre obtendrás un grupo que es isomorfo a uno de los dos anteriores. De este modo, sólo hay un grupo de orden $2$ (es decir, un grupo con dos elementos).
Esto es exactamente lo que queremos decir cuando afirmamos que existe, hasta el isomorfismo, un solo grupo de orden $2$ .
