¿Qué es este producto igual?

Question

Recientemente me encontré con el siguiente producto a través de los números primos, pero perdió el origen de la fórmula. Alguien que me ilumine? El producto, a lo largo de todos los números primos $p$, es:

$$\prod _{p}^{\infty} \frac{p^2 \left(1-p+p^2\right)}{1-p+p^2-p^3+p^4}.$$

Por cierto, Mathematica me dice que es aproximadamente igual a:

$$\frac{1}{34} \sqrt{\frac{1}{6} \left(19 \sqrt{237673}-239\right)}.$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{p^2(1-p+p^2)}{1-p+p^2-p^3+p^4} = \frac{1+1/p^3}{1+1/p^5}$$ Ahora uso el de Euler productos $$\prod_p (1 + 1/p^s) = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$$ así que tu infinita producto es $$\frac{\zeta(3) \zeta(10)}{\zeta(6) \zeta(5)}$$