¿Por qué la estadística chi-cuadrado sigue la distribución chi-cuadrado?

Question

La fórmula del estadístico de la prueba Chi-cuadrado es la siguiente:

$$\chi^2=\sum_{i=1}^n\frac{({O_i-E_i})^2}{E_i}$$

donde $O_i$ son los datos observados, y $E_i$ se espera.

Sólo tengo curiosidad por saber por qué esto sigue al $\chi^2$ ¿Distribución?

Answer 1

Es $\frac{O_i-E_i}{E_i}$ que sigue una distribución normal y no su raíz cuadrada. Sólo estamos asumiendo que los errores relativos son gaussianos. Es sólo una suposición. El cuadrado de la variable gaussiana ~ Distribución Gamma (Chi-cuadrado). La suma de estas variables al cuadrado sigue una Chi-cuadrado con $n$ grados de libertad. Ahora bien, si nos fijamos en los valores absolutos, es decir $\left|\frac{O_i-E_i}{E_i}\right|$ tendríamos una distribución seminormal y la suma $\sum_{i=1}^n\left|\frac{O_i-E_i}{E_i}\right|$ acabaría convergiendo a una gaussiana, aunque a diferencia de la Chi-cuadrado, sin una distribución claramente estándar para $n$ pequeño.

Answer 2

Es correcto decir que la estadística de "bondad de ajuste" sigue la distribución chi-cuadrado asintóticamente no exactamente . Esto significa que la estadística se encuentra en cualquier intervalo con una probabilidad cercana o aproximadamente igual a la de un $ \chi^2_{n-1} $ variable que se encuentra en el mismo intervalo, proporcionó el tamaño de la muestra $ N $ es grande. Aquí estoy asumiendo que el $E_i$ s son las frecuencias esperadas que surgen de un completamente especificado modelo y no hay estimación de parámetros; de lo contrario, la f.d. cambiaría.

Una prueba clara y sencilla, así como otra menos sencilla, se puede encontrar en http://sites.stat.psu.edu/~dhunter/asymp/lectures/p175to184.pdf . La más sencilla es la siguiente: hay que observar que bajo el modelo, $ (O_1,O_2,\dots,O_n) $ tiene una distribución multinomial con parámetros $N$ y probabilidades de las células $ \left(\frac{E_1}N, \frac{E_2}N, \dots, \frac{E_n}N \right) $ .

Esto significa que cuando $N$ es grande, $ (O_1,O_2,\dots,O_n) $ tiene aproximadamente un $n$ -distribución normal variable, pero una singular uno, ya que $ \sum_{i=1}^N O_i \equiv N $ es no aleatorio . Otra forma de interpretar la singularidad es ver que los parámetros de la distribución son el vector de la media y la matriz de dispersión y esta última es singular.

Sin embargo, cualquier $n-1$ de $ O_1, O_2, \dots, O_n $ tienen aproximadamente un no-singular $(n-1)$ -distribución normal variable. Elección de $ \tilde O := (O_1, O_2, \dots, O_{n-1}) $ la inversa $ \Sigma^{-1} $ de la matriz de dispersión $ \Sigma $ de $\tilde O $ se calcula. Específicamente, $ \Sigma^{-1} $ resulta tener todas las entradas no diagonales iguales a $ 1 / E_n $ y para $ 1 \le 1 \le n-1$ , $ 1/E_i + 1/E_n $ como el $i$ entrada de la diagonal.

Por último, se demuestra que el estadístico de bondad de ajuste es exactamente igual al suma estandarizada de cuadrados $ \{ ( \tilde O - E (\tilde O)\}^T \Sigma^{-1} \{ ( \tilde O - E (\tilde O)\} $ , que sigue aproximadamente una $ \chi^2_{n-1} $ distribución porque $\forall \: k $ el mapa en ${\mathbb R}^k $ que toma un vector $ \tilde x $ al número real $ ( \tilde x - \tilde a )^T A ( \tilde x - \tilde a ) $ , siempre que $ \tilde a \in {\mathbb R}^k$ y el $k\times k $ matriz $ A $ son fijos, es una función continua, y el suma estandarizada de cuadrados a partir de una exacta $k$ -La distribución normal no singular es $\chi^2_k$ distribuido. Aquí $ n-1 $ se utiliza como $k$ .

Para comprobar la igualdad de la estadística de la prueba con $ \{ ( \tilde O - E (\tilde O)\}^T \Sigma^{-1} \{ ( \tilde O - E (\tilde O)\} $ , tendrá que utilizar los hechos que $ E(O_i) = E_i $ bajo el modelo; y repetidamente que $ \sum_{i=1}^n (O_i-E_i) = N - N = 0 $ .