¿Existe una tercera dimensión de los números como los números reales, los números imaginarios, los números [en blanco]?
Por desgracia, no hay "tríplex" algebraicamente coherentes. El siguiente paso en la construcción, como ya se ha dicho, son los "cuaterniones" de 4 dimensiones.
Muchos jóvenes aspirantes a matemáticos han tratado de encontrarlas desde Hamilton en el siglo XIX. Esta imposibilidad vincula la dimensionalidad geométrica, las propiedades fundamentales de las ecuaciones polinómicas, los sistemas algebraicos y muchos otros aspectos de las matemáticas. Realmente merece la pena estudiarla.
Un libro bastante reciente de matemáticos modernos que detalla todo esto para estudiantes universitarios avanzados es Números por Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, Koecher, Mainzer, Neukirch, Prestel, Remmert y Ewing.
Sin embargo, el conjunto de cuaterniones con parte real cero es un interesante sistema de dimensión 3 con propiedades muy interesantes, ligadas a la composición de rotaciones en el espacio.
También pueden resultar interesantes algunos resultados más generales además del mencionado Teorema de Frobenius. Weierstrass (1884) y Dedekind (1885) demostraron que todo anillo de extensión conmutativo de dimensión finita de $\mathbb R$ sin nilpotentes ( $x^n = 0\,\Rightarrow\, x = 0$ ) es isomorfo como anillo a una suma directa de copias de $\rm\,\mathbb R\,$ y $\rm\,\mathbb C.\,$ Wedderburn y Artin demostraron una generalización de que toda álgebra asociativa de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre un campo $\rm\,F\,$ es una suma directa finita de campos.
Estos resultados de la teoría de la estructura simplifican enormemente la clasificación de estos anillos cuando surgen en la naturaleza. Por ejemplo, he aplicado un caso especial de estos resultados la semana pasada para demostrar que un anillo finito es un campo si sus unidades $\cup\ \{0\}$ comprenden un campo de características $\ne 2.\,$ Para otro ejemplo, un lector de sci.math propuso una vez una extensión de los números reales con múltiples "signos". Esto resulta ser un caso muy simple de los resultados anteriores. A continuación, mi 2009.6.16 sci.math post en estos números de "PolySign".
Los resultados del artículo de Eitzen Entender los números de PolySign de manera estándar, caracterizando los llamados números PolySign de Tim Golden como sumas directas en anillo de $\mathbb R$ y $\mathbb C$ se conocen desde hace más de un siglo y medio. A saber, que $\rm\,P_n =\, \mathbb R[x]/(1+x+x^2+\,\cdots\, + x^{n-1})\ $ es isomorfo a un cierto anillo suma directa de $\,\mathbb R$ y $\,\mathbb C,\,$ es sólo un caso especial de resultados más generales debidos a Weierstrass y Dedekind en la década de 1860. Estos resultados clásicos son tan conocidos que se encuentran que se mencionan incluso en muchos libros de texto elementales sobre sistemas numéricos y sus generalizaciones. Por ejemplo, en Números por Ebbinghaus et.al. p.120:
Weierstrass (1884) y Dedekind (1885) demostraron que toda extensión de anillo extensión de anillo conmutativo finito de R con elemento unitario pero sin elementos nilpotentes, es isomorfa a un anillo suma directa de copias de R y C.
Lo mismo ocurre con las exposiciones históricas, por ejemplo, la de Bourbaki Elementos de la Historia de las Matemáticas , p. 119:
En 1861, Weierstrass, precisando una observación de Gauss, había, en su caracterizó las álgebras conmutativas sin elementos nilpotentes sobre R o C como productos directos de campos (isomorfos a R o C); Dedekind, por su parte, había llegado a las mismas conclusiones hacia 1870, en relación con su concepción "hipercompleja" de la teoría de los campos conmutativos, cuyas pruebas se publicaron en 1884-85 [1,2]. [...] Estos métodos se basan sobre todo en la consideración del polinomio característico de un elemento del álgebra respecto a su representación regular (un polinomio ya conocido en los trabajos de Weierstrass y Dedekind citados anteriormente) y en la descomposición del polinomio en factores irreducibles.
En la actualidad, estos resultados fundamentales no son más que casos especiales de estructuras más generales de las álgebras que forman parte de cualquier primer curso de sobre álgebras (pero no siempre se encuentran en un primer curso de álgebra abstracta). Una búsqueda en la web permite encontrar más información sobre la historia posterior, por ejemplo, un extracto de
Y. M. Ryabukhin, Álgebras sin elementos nilpotentes, I,
Algebra i Logika, Vol. 8, No. 2, pp. 181-214, marzo-abril, 1969
http://www.springerlink.com/index/3Q765670P5571176.pdf
Las álgebras sin elementos nilpotentes se han estudiado hace tiempo. Así, Weierstrass caracterizó en sus conferencias de 1861 las álgebras finito-dimensionales sin elementos nilpotentes sobre el campo de los números reales o complejos de números reales o complejos como sumas directas finitas de campos. Para ser exactos se impusieron algunas restricciones no esenciales. En 1870 Dedekind eliminó esas restricciones no esenciales. El siguiente teorema de Weierstrass-Dedekind se considera ahora como un clásico: toda álgebra asociativa-conmutativa de dimensiones finitas sin elementos nilpotentes sobre un campo F es una suma directa finita de campos. Los resultados de Weierstrass y Dedekind (para el caso en que F es el campo de los números complejos o números reales) se han publicado en [1,2]. Los resultados de los trabajos de Molien, Cartan, Wedderburn y Artin [3-6] implican que el teorema de Dedekind es válido para cualquier campo F. Además, el siguiente teorema de Wedderburn-Artin es válido: toda álgebra asociativa de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre un campo F es una suma directa finita de campos". [...]
y extraído de su secuela
Y.M. Ryabukhin, Álgebras sin elementos nilpotentes, II,
Algebra i Logika, Vol. 8, No. 2, pp. 215-240, marzo-abril, 1969
http://www.springerlink.com/index/BQ2L50708GL150J0.pdf
En [1] demostramos teoremas estructurales sobre la descomposición de álgebras sin elementos nilpotentes en sumas directas de álgebras de división; Se impusieron ciertas condiciones de cadena en estas álgebras.
Sin embargo, es posible demostrar teoremas estructurales también sin imponer ninguna condiciones de cadena. En este caso las sumas directas se sustituyen por sumas subdirectas sumas subdirectas y en lugar de álgebras de división consideraremos álgebras sin divisores cero.
El primer teorema estructural de este tipo es aparentemente el clásico teorema de Krull [2]:
Cualquier anillo asociativo-conmutativo sin elementos nilpotentes puede ser representado por una suma subdirecta de anillos sin divisores cero. El teorema de Krull se extendió posteriormente al caso de cualquier anillo asociativo asociativo. Esto fue hecho por varios autores y en varias direcciones. En [3], Thierrin se acercó mucho a una generalización final del teorema de Krull a al caso asociativo, pero no conmutativo. El resultado final se obtuvo en [4]:
Cualquier anillo asociativo sin elementos nilpotentes puede ser representado por un suma subdirecta de anillos sin divisores cero. En la Novena Conferencia de la Unión sobre Álgebra General (celebrada en Gomel'), I. V. L'vov informó de un resultado aún más fuerte:
Cualquier anillo alternativo sin elementos nilpotentes puede ser representado por un suma subdirecta de anillos sin divisores cero.
Se puede suponer que el teorema sobre la descomposición en una suma subdirecta de álgebras sin divisores cero se cumple para cualquier anillo. Sin embargo, esta suposición es errónea (véase [1]), ya que existe un álgebra de Jordan simple de dimensión finita de dimensiones finitas sin elementos nilpotentes que tiene divisores nulos y, por tanto, no puede descomponerse en una suma subdirecta de álgebras (o anillos) sin divisores cero.
Naturalmente, surge la siguiente pregunta: ¿qué condiciones debe cumplir un anillo sin elementos nilpotentes para permitir su representación? un anillo sin elementos nilpotentes para permitir su representación por una suma subdirecta de anillos sin divisores cero?
En este documento respondemos a esta pregunta:
Un álgebra R sobre un anillo asociativo-conmutativo F con unidad puede ser representada por una suma subdirecta de anillos sin divisores cero, si es un álgebra condicionalmente asociativa sin elementos nilpotentes.
Recordemos que se dice que un álgebra R es condicionalmente asociativa si tenemos en R la identidad condicional x(yz) = 0 si (xy)z = 0.
Decimos que un álgebra (no necesariamente asociativa) R no tiene elementos nilpotentes si en R tenemos la identidad condicional x^2 = 0 si x = 0.
A partir de este teorema se obtienen fácilmente los resultados mencionados de [2-4], así como el resultado de L'vov (basta con tomar como anillo F el anillo Z de enteros). [...]
Bill, algo parece estar mal en el título del artículo de Dedekind. Faltan dos espacios en blanco. Al añadirlos, el título se vuelve idéntico al de Weierstrass, lo que también me parece extraño.
Toda álgebra de división de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ es uno de $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ o $\mathbb{H}$ . Esto es lo que se llama el Teorema de Frobenius. Puede referirse a aquí para más detalles.
Toda álgebra de división asociativa de dimensión finita sobre $\mathbb R$ es una de las anteriores. Los octoniones $\mathbb O$ también es un álgebra de división, pero no es asociativa.
@sis440: Te refieres a Frobenius. En términos más generales, puede que quieras consultar los teoremas de Dickson, Artin y Wederburn, que ofrecen una visión más amplia de la clasificación del álgebra.
Puedes buscar cuaterniones .
Pasé por encima del +1 y dijo "Esta respuesta es útil". Estuve de acuerdo, y pinché. y cité la ventana emergente $$$$ :)
Respuesta corta: No,
Muchas respuestas traen a colación el hecho de que el siguiente conjunto algebraico cerrado son los cuaterniones. Pero estos no son perfectos ya que no hay ningún problema al que los cuaterniones surjan naturalmente como solución:
Por ejemplo, sabemos que $i$ se forma naturalmente como la solución a la anteriormente irresoluble $\sqrt{-1}$ Dicho esto, todos los polinomios tienen raíces en el plano complejo, por lo que se garantiza que no hay otra unidad algebraica nueva (como) $i$ se formará de forma natural.
Ahora bien, personalmente no conozco un teorema que diga que esto NO puede volver a ocurrir. Por ejemplo podría ser que:
$$x^x = i$$ O (si definimos ${}^xx$ para referirse a la tetración)
$${}^xx = i$$
Etc... siguiendo el patrón, puede no tener solución en C. En ese caso ahora somos libres de generar una nueva unidad elemental $j$ sin embargo esta unidad elemental será bastante extraña ya que está asociada a un operador superior por lo que expresiones como:
$$j, j^2, j^3 ...$$
Son todas únicas y simplificadas, lo que nos lleva a un sistema de números de dimensiones ahora infinitas
Así que la 3D no es posible, pero creo que la dimensión infinita es todavía posible.
A menos que te gusten las creaciones antinaturales que son los cuaterniones, etc... (Sólo me disgustan por su falta de formación natural)
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Supongo que esto está relacionado: es.wikipedia.org/wiki/Quaternion
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Vaya, eso es molesto. ¿Son posibles/necesarios los números tridimensionales?
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Los cuaterniones son cuatridimensionales, pero se utilizan en los gráficos por ordenador para tratar situaciones tridimensionales.
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Una buena pista de que no hay números tridimensionales es el hecho de que $(a_1^3 + b_1^3 + c_1^3)(a_1^3 + b_2^3 + c_2^3)$ no siempre es igual a la suma de tres números cúbicos (el axioma de que el producto de dos tres cubos es otro tres cubo). Los cuaterniones apenas satisfacen la condición de cuatridimensionalidad, salvo la conmutatividad.
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EDITAR el comentario anterior: Por alguna razón escribí accidentalmente cubos. Quería decir el producto de tres cuadrados $(a_1^2+b_1^2+c_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2)$ no siempre es igual a la suma de tres números cuadrados. Es bien conocido en cualquier libro de teoría numérica elemental que Euler demostró su verdad para el producto de cuatro cuadrados insinuando que los números de cuatro dimensiones existen.
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Véase también la octava dimensión Octonions
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@AndréNicolas, los números hipercomplejos son en sí mismos cuatridimensionales. Pero, pueden expandirse en más de 4 dimensiones.
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Enlazando esto con hilos estrechamente relacionados 1 y 2 . La razón por la que el 3D no funciona es muy sencilla de describir, y no necesita ninguna teoría profunda.