Es $\mathbb{E}\exp \left( k \int_0^T B_t^2 \, dt \right)<\infty$ pequeña $k>0$?

Question

Supongamos que $B$ es un movimiento Browniano. Es que \begin{equation} \mathbb{E}\left[\exp\left(k\int_0^T[B(t)]^{2}\,dt\right)\right] <\infty\text{ ?} \end{equation} por alguna constante positiva $k$?

mi idea: creo que el $\int_{0}^{T}[B(t)]^{2}dt$ es en realidad una variable aleatoria Normal $X\sim N(\frac{T^{2}}{2},\sigma(T))$ donde $\sigma(T)$ es alguna función de $T$. Entonces, sabemos que $\mathbb{E}[\exp(\theta X)]$ es finito para tal $X$. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Obviamente,

$$\int_0^T B_t^2 \, dt \leq T \cdot \sup_{t \leq T} B_t^2$$

Desde

$$\sup_{t \leq T} B_t^2 \leq \left(\sup_{t \leq T} B_t \right)^2 + \left( \inf_{t \leq T} B_t \right)^2$$

y

$$\sup_{t \leq T} B_t \sim - \inf_{t \leq T} B_t \sim |B_T|$$

(esto es una consecuencia directa del principio de reflejo), obtenemos por la de Cauchy-Schwarz desigualdad

$$\begin{align*} \mathbb{E}\exp \left(k \int_0^T B_t^2 \, dt \right) &\leq \sqrt{\mathbb{E}\exp \left(2kT \left[ \sup_{t \leq T} B_t \right]^2 \right)} \sqrt{\mathbb{E}\exp \left(2kT \left[ \inf_{t \leq T} B_t \right]^2 \right)}\\ &= \mathbb{E}\exp \left(2kT B_T^2 \right). \end{align*}$$

Finalmente, como $B_T \sim N(0,T)$, podemos observar que

$$\mathbb{E}\exp (2kT B_T^2) = \int_{\mathbb{R}} e^{2kT x^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi T}} \exp \left(- \frac{x^2}{2T} \right) \, dx$$

es finito si $2k T< \frac{1}{2T}$, es decir, si $k < \frac{1}{4T^2}$.

Answer 2

Me he enfrentado a un problema similar, he aquí una posible solución \begin{equation} \mathbb{E}\left[\exp\left(k\int_0^T[B(t)]^{2}\,dt\right)\right] <\infty\text{ ?} \end{equation}

Primero de todo, vamos a introducir la siguiente secuencia de proceso

\begin{equation} \ B_{t}^{n}= \sum_{i=0}^{n}\sqrt\lambda_{i}*\phi_{i}*\eta_{i} \end{equation}

donde

\begin{equation} \ \eta_{i} \sim N(0,1) \\ \ \phi_{i}=\sqrt2\sin((i+\frac{1}{2})\pi*t) \\ \ \lambda_{i} = \frac{4}{\pi^2}\frac{1}{(2i+1)^{2}} \end{equation}

Vamos a mostrar que esta secuencia de proceso es una representación del movimiento browniano en [0;1]. A continuación, gracias a un cambio en las variables y la invariancia de la propiedad de el movimiento browniano será "más fácil" para calcul la expectativa.

Esta secuencia de proceso es convergente, para demostrar que se puede mostrar que es una secuencia de Cauchy . Se denota X_t a ese límite.

Se puede mostrar fácilmente que X_t es un proceso gaussiano. O una gaussiana proceso se caracteriza por su función de covarianza y su función esperada. Gracias al Teorema de Mercer se puede calcular la covarianza de la función y el cálculo de la función esperada es muy simple, porque es la constante 0. \begin{equation} K(s,t)=cov(X_{t},X_{s}) = min(s,t) \\ E(t)= \mathbb{E}[X_{t}]=0 \end{equation}

\begin{equation} \ B_{t}^{n}= \sum_{i=0}^{\infty}\sqrt\lambda_{i}*\phi_{i}*\eta_{i}\text{ is a representation of the brownian motion on [0;1]} \end{equation}

Podemos utilizar esa representación para calcular

\begin{equation} \int_{0}^{T}[B(t)]^{2}dt= T^{2}*\int_{0}^{1} [\frac{B_{T*t}}{\sqrt{T}}]^{2}dt \\ \frac{B_{T*t}}{\sqrt{T}}\text{is a brownian motion, it is just the invariance by expansion of time} \end{equation}

\begin{equation} \int_{0}^{T}[B(t)]^{2}dt= \sum_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}\eta_{i}^2\ \end{equation}

Ahora "sólo" tiene que calcular la transformación de Laplace de una plaza de la ley normal que es dolorosa (que es básicamente el cálculo de una transformación de Laplace para una variable aleatoria siguiendo una chi2 de la ley) \begin{equation} \mathbb{E}\left[\exp\left(k\int_0^T[B(t)]^{2}\,dt\right)\right] = \prod_{i=0}^{\infty}\mathbb{E}[exp(T^{2}*k*\lambda_{i}*\eta_{i}^2)] \end{equation} Si he cometido algún error o si usted necesita más explicaciones sobre algunos puntos en particular no dude en