Encontrando $\lim_{x\to 0} \large \frac {\sqrt{x}}{\sin x}$

Question

Usando la regla de L'Hospitals sigo obteniendo $\frac{0}{0}$ ... Pero no estoy seguro de que esto sea correcto.

$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$$

$$\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{\cos x}$$ $$\frac{-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}}{-\sin x}$$

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Después de aplicar el de L'Hospital una vez, reevaluar: ya no está en forma indeterminada.

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sqrt x}{\sin x} \quad \overset{L'H}= \quad \lim_{x\to 0} \frac 12 \dfrac{1}{\sqrt x\cos x}$$

El límite del lado derecho (acercándose a $0$ desde la derecha) existe, y $\lim_{x\to 0^+} \frac 12 \dfrac{1}{\sqrt x\cos x}\to \infty$ . Pero el límite del lado izquierdo (que se acerca a $x$ de la izquierda) no está definido, es decir, el límite no existe.

AÑADIDO: Recordemos que podemos aplicar L'Hospital si y sólo si el límite se evalúa de forma indeterminada. Y tras aplicarlo una vez, con el límite contabilizado, obtenemos una forma de $1/0$ que no es indeterminado.

Answer 2

Una pista: $$\lim _{ x\to 0 } \frac { \sqrt { x } }{ \sin x } =\lim _{ x\to 0 } \frac { \sqrt { x } }{ x } \frac { x }{ \sin x } =\lim _{ x\to 0 } \frac { 1 }{ \sqrt { x } } $$

Answer 3

El límite dado equivale a: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x}}$$ desde: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} =1$$ vemos que el límite existe para $x 0$ y $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty $$

Answer 4

Al ver el problema, ya se puede decir que el límite no existe. El límite tiene dos caras, y acercarse a cero desde el lado izquierdo no se puede hacer, cuestión de dominio de la raíz cuadrada.