En los subgrupos de abelian grupos

Question

Deje $G$ ser un producto de la $n$ finito de grupos cíclicos. Es cada subgrupo de $G$ también un producto de (a lo más) $n$ finito cíclico grupos ?

No sé la respuesta a esta pregunta, pero estoy tentado a decir que sí. Soy consciente de la clasificación teorema de abelian grupos, pero no sé cómo usarlo aquí, también he tratado de módulos y de doble grupos, pero nada grave salió de ella.

Answer 1

El finito grupo Abelian $G$ es un producto directo de la mayoría de las $t$ cíclico grupos si y sólo si cada uno de sus Sylow $p$-subgrupos es un producto directo de la mayoría de las $t$ cíclico de los grupos. Por lo tanto es suficiente para considerar el caso de que $G$ $p$- grupo, así que supongo que lo es. Ahora si $G$ es el producto directo de exactamente $t$ cíclico subgrupos, a continuación, $G_{p} = \{g \in G: g^{p} = 1_{G} \}$ es un subgrupo de orden exactamente $p^{t}.$ por lo tanto $H_{p} = \{ h \in H : h^{p} = 1_{G} \}$ ha pedido en la mayoría de los $p^{t},$, de modo que $H$ es un producto directo de la mayoría de las $t$ cíclico de los grupos.

Answer 2

Hay un libre de abelian grupo de clasificación $n$ y un epimorphism $\pi: F \to G$. Dado un subgrupo $H \leq G$, su preimagen en $\pi$ es un subgrupo de $F$, por lo tanto es libre de abelian de rango $\leq n$, por lo que se genera a la mayoría de los $n$ elementos; además, una base para $\pi^{-1}(H)$ puede ser elegido de manera que la base de los elementos de $\ker\pi$ son múltiplos de la base de elementos para $\pi^{-1}(H)$, por lo que la imagen $H$ es un producto directo de la mayoría de las $n$ cíclico de los grupos.