Cuadro topología define un espacio vectorial topológico?

Question

Es el conjunto de todos los reales summable secuencias, dotado con el cuadro de la topología de un espacio vectorial topológico?

Formalmente, estoy interesado en $X=\{(a_1,\ldots):a_n \in \mathbb{R} \ \forall n, \ \sum a_n < \infty\}$ dotado con el cuadro de la topología.

Creo que este es el caso de adición de vectores y la multiplicación escalar de ambos parecen continuos para mí.

Pero, hay al menos un lugar que sugiere que el cuadro de la topología general, no define un espacio vectorial topológico:

¿Por qué es el cuadro de la topología en un producto de completar espacios vectoriales topológicos completa?

Answer 1

El problema es que la multiplicación por $x \in X$ no es continuo desde la $\mathbb R $ $X$si $x$ tiene infinitamente muchos distinto de cero términos. Por ejemplo, tomar la caja de vecindario $U = \prod_{n=1}^\infty (1/n^2-1/n^4, 1/n^2+1/n^4) $$x$$x_n = 1/n^2$. No es $\delta > 0$ tal que $(1-\delta, 1+\delta) x \subseteq U$, ya que esto requeriría $\delta < 1/n^2$ todos los $n$.