¿Cómo puedo encontrar la suma de Cesaro de la serie $\{1, -1, 1, -1, ...\}$ ?

Question

He visto que el Cesaro suma es $1/2$ pero no he podido encontrar los pasos para averiguarlo.

Answer 1

Aquí hay un boceto bastante detallado: Las sumas parciales de la serie original son $s_{2k-1} = 1$ , $s_{2k} = 0$ , para $k \geq 1$ . Las sumas parciales promediadas de este secuencia son $$ t_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} s_{k} = \begin{cases} \frac{m}{2m-1} & \text{if $n = 2m-1$ is odd,} \\ \frac{m}{2m} = \frac{1}{2} & \text{if $n = 2m$ is even.} \end{cases} $$ Claramente $(t_{n}) \to 1/2$ .

Answer 2

El Cesàro Suma de una serie $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ es $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{m=1}^n\sum_{k=1}^ma_k &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sum_{m=k}^na_k\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n(n-k+1)a_k \end{align} $$ Desde $a_k=(-1)^{k-1}$ obtenemos $$ \begin{align} &\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n(n-k+1)(-1)^{k-1}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[\vphantom{\frac{()}2}\right.(n+1)\overbrace{\frac{1-(-1)^n}2}^{\text{sum of }(-1)^{k-1}}-\overbrace{\left(-\lfloor n/2\rfloor+n\frac{1-(-1)^n}2\right)}^{\text{sum of }k(-1)^{k-1}}\left.\vphantom{\frac{()}2}\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[\frac1n\frac{1-(-1)^n}2+\frac{\lfloor n/2\rfloor}n\right]\\[3pt] &=\frac12 \end{align} $$

Answer 3

Una de esas pruebas: $$S=1-1+1-1+1-...$$$$ \therefore 1-S=1-(1-1+1-1+1-...)=1-1+1-1+1-...=S $$$$\therefore 1=2S$$$$ \Por lo tanto, S=frac{1}{2}$$

Corrección - utilizando Cesaro método:

Si $a_n=(-1)^{n+1}$ para $n\ge1$ obtenemos su secuencia de $1,-1,1,-1,...$ . La secuencia de sumas parciales $S_n$ para esto será: $1,0,1,0,...$ . Entonces, aunque esto no converge, si calculamos los términos de esta secuencia: $\frac{S_1+S_2+...+S_n}{n}$ obtenemos: $$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},...$$ Se puede ver aquí que los términos tienden a $\frac{1}{2}$ y, por tanto, tomando el límite de esta secuencia como $n\to\infty$ nos encontramos con que: $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_1+S_2+...+S_n}{n}=\frac{1}{2}$$ Por lo tanto, podemos decir que la serie original es sumable por Cesaro ya que el valor medio de sus sumas parciales tiende a un valor fijo, en este caso $\frac{1}{2}$ .

En otras palabras, la suma de Cesaro de una serie infinita es el límite de la media aritmética (promedio) de la primera $n$ sumas parciales de la serie, como $n$ va al infinito.