Una de las razones de la finitud es que en toda la composición de la serie tenemos muchas ganas de Jordan-Hölder para celebrar.
Que puede ser un poco problemático si permitimos que la serie infinita. Si nos fijamos en contables de la serie $$1\lhd \cdots \lhd H_{n}\lhd H_{n-1}\lhd\cdots\lhd H_1\lhd G$$
natural de "condición de terminación" se insiste en que
$$
\bigcap_{i=1}^\infty H_i=\{1\}.
$$
Pero si sólo requieren de este perdemos Jordan-Hölder. Esto se puede ver ya con el infinito cíclico grupo $\Bbb{Z}$.
Tenemos una secuencia de máxima normal subgrupos declarando $H_n=2^n\Bbb{Z}$. En este caso todos los factores de composición se $H_n/H_{n+1}\simeq C_2$. Por otro lado, si $2=p_1<p_2<p_3<\cdots$ son de todos los primeros números que aparecen en la secuencia, y declaramos
$$H'_k=(p_1p_2\cdots p_k)\Bbb{Z},$$
entonces tenemos un conjunto diferente de factores de composición como esta vez
$$
H'_{k-1}/H'_{k}\simeq C_{p_k}.
$$
Observar que, por el teorema fundamental de la aritmética, la "normal de la serie" aquí satisfacer la condición de terminación
$$
\bigcap_{i=1}^\infty H_i=\{0\}=\bigcap_{i=1}^\infty H'_i,
$$
y en ambos casos, todos los coeficientes fueron simples.
Estoy seguro de que mas se puede decir, pero yo no soy la persona adecuada para tratar. Dejando esto como un ejemplo y/o el primer problema potencial que se me ocurrió.
