Escribir la función de $\frac{1}{(z+1)(3-z)}$ como Laurent de la serie.

Question

$$f(z)=\frac{1}{(z+1)(3-z)}=\frac{1}{4z+4} + \frac{1}{12-4z}$$

$$\frac{1}{4z+4}=\frac{1}{4z}\frac{1}{1-\frac{-1}{z}}=\frac{1}{4z}\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{-1}{z}\right)^k$$

$$\frac{1}{12-4z}=\frac{1}{12}\frac{1}{1-\frac{z}{3}}=\frac{1}{12}\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{z}{3}\right)^k$$

$$f(z)=\frac{1}{4z}\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{-1}{z}\right)^k+\frac{1}{12}\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{z}{3}\right)^k$$

Puedo volver a escribir que como $$f(z)=\frac{1}{4z}\sum_{k=-\infty}^{0} (-1)^k z^k+\frac{1}{12}\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k z^k$$.

Necesito mover el $\frac{1}{4z}$ $\frac{1}{12}$ en las cantidades, sino de encontrar una serie que converge a cada uno, pero no tengo idea de lo que para cualquiera de ellos. Alguna sugerencia? Estoy tomando un enfoque equivocado o es que hay un evidente de la serie a utilizar para esto?

Edit: El centro es $0$ y la región en $1 \le |z| \le 3$.

Creo que puedo usar una progresión geométrica de decir $\frac{1}{4z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{k-1}\frac{z}{k}$$\frac{1}{12}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{36}(\frac{2}{9})^{k-1}\frac{z}{k}$. Estoy bastante seguro de que es cierto, pero me parece que tiene todo un desorden complicado.

Answer 1

La función

\begin{align*} f(z)&=\frac{1}{(z+1)(3-z)}\\ &=\frac{1}{4(z+1)}-\frac{1}{4(z-3)} \end{align*} tiene dos polos en$-1$$3$.

Ya queremos encontrar una Laurent de expansión con el centro $0$, nos fijamos en los polos $-1$ $3$ y ver que determinar tres regiones.

\begin{align*} |z|<1,\qquad\quad 1<|z|<3,\qquad\quad 3<|z| \end{align*}

• La primera región $ |z|<1$ es un disco con centro de $0$, radio $1$ y el polo $-1$ en el límite de la disco. En el interior de este disco de dos fracciones con polos $-1$ $3$ admite una representación como la de alimentación de la serie en $z=0$.

• La segunda región $1<|z|<3$ es el anillo con centro de $0$, radio interior $1$ y radio exterior $3$. Aquí tenemos una representación de la fracción con polos $-1$ como parte principal de una de la serie de Laurent en $z=0$, mientras que la fracción con la pole en $3$ admite una representación como la potencia de la serie.

• La tercera región $|z|>3$ que contiene todos los puntos fuera de la disco con centro de $0$ y radio de $3$ admite para todas las fracciones de una representación como parte principal de una de la serie de Laurent en $z=0$.

Un poder de expansión de la serie de $\frac{1}{z+a}$ $z=0$ es \begin{align*} \frac{1}{z+a}&=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{z}{a}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{a^{n+1}}(-z)^n \end{align*} La parte principal de $\frac{1}{z+a}$ $z=0$ es \begin{align*} \frac{1}{z+a}&=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1+\frac{a}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{(-z)^n} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{(-z)^{n+1}}\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n-1}}{(-z)^n} \end{align*}

Ahora podemos obtener el Laurent expansión de $f(z)$ $z=0$ para las tres regiones.

• Región 2: $1<|z|<3$

\begin{align*} f(z)&=\frac{1}{4(z+1)}-\frac{1}{4(z-3)}\\ &=-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(-z)^n}-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-3)^{n+1}}(-z)^n\\ &=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{z^n}+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^{n+1}}z^n\\ \end{align*}

Los de Laurent de expansión para las otras regiones puede ser calculado de manera similar.

Answer 2

Puedo escribir la expresión como: $$\frac{1}{(z+1)(-z+3)} = \frac{-1}{(z+1)(z-3)}$$

El uso de fracciones parciales: $$\frac{-1}{(z+1)(z-3)} = \frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-3}$$ $$-1 = A(z-3)+B(z+1)$$ Si z=3, entonces $$-1 = B(3+1)$$ $$-1 = B(4)$$ $$B=\frac{-1}{4}$$

Si z=1, entonces $$-1 = A(1-3)$$ $$-1 = A(-2)$$ $$1 = A(2)$$ $$A = 1/2$$

Así, tenemos: $$\frac{-1}{(z+1)(z-3)} = (\frac{1}{2})\frac{1}{z+1}+(\frac{-1}{4})\frac{1}{z-3}$$

La expresión anterior es una de la Serie de Laurent. Debido a que la expresión no tiene las expresiones de la forma $$\frac{1}{z^{n}}$$ Los de Laurent de la Serie se comporta como un desarrollo en Serie de Taylor.

Si suponemos que en z=0 la expresión no es analítica, entonces se puede escribir como

$$\frac{-1}{(z+1)(z-3)} = (\frac{1}{2})\frac{1}{z(1+\frac{1}{z})}+(\frac{-1}{4})\frac{1}{z(1-\frac{3}{z})}$$