IMO de 1997, problema 1

Question

En el plano los puntos con coordenadas enteras son los vértices de la unidad de plazas. Las plazas son de color alternativamente en blanco y negro (como en un tablero de ajedrez).

Para cualquier par de enteros positivos $m$$n$, considere la posibilidad de un ángulo recto del triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyas piernas, de longitudes $m$$n$, se encuentran a lo largo de los bordes de los cuadrados.

Deje $S_1$ de la superficie total de la parte negra del triángulo y $S_2$ de la superficie total de la parte blanca. Deje $$f (m, n) = |S_1 - S_2|.$$

(a) Calcular el $f (m, n)$ para todos los enteros positivos $m$ $n$ que son tanto o incluso a un extraño.

(b) Demostrar que $f (m, n) \leqslant \frac {1} {2} \max \{m, n\}$ todos los $m$$n$.

(c) Demostrar que no existe ninguna constante $C$ tal que $f (m, n) < C$ todos los $m$$n$.

Answer 1

A partir de uno de dichos puntos en el plano dibuja un rectángulo cuyos lados se $m$$n$. Deje $R_1$ ser el área total de cuadrados negros y $R_2$ ser que de cuadrados en blanco, en el rectángulo. Desde dibujando una diagonal podemos dividir el rectángulo en dos idénticos triángulos rectángulos como se ha descrito, tenemos $R_1 = 2S_1$$R_2 = 2S_2$. A continuación, $|R_1 - R_2| = 2 f (m, n)$.

(a) tanto los $m$ $n$ incluso: $m = 2M$$n = 2N$. A continuación,$R_1 = R_2 = 2NM$, lo $f (m, n) = 0$.

Supongamos ahora tanto $m$ $n$ son impares: $m = 2M + 1$$n = 2N + 1$. A continuación, el más grande de $R_1$ $R_2$ $(N + 1) (M + 1) + NM$ y el menor es $N (M + 1) + M (N + 1)$. Así $$|R_1 - R_2| = |(N + 1) (M + 1) + NM - N (M + 1) - M (N + 1)| = 1,$$ whence $f (m, n) = \frac {1} {2}$.

(b) Por $m$ $n$ o, incluso, la extraño, la desigualdad se mantiene. Ahora considere el caso de que uno de $m$ $n$ es regular y el otro es impar. En este caso, $R_1 = (N + 1) M + (M + 1) N$ $R_2 = 2NM$ o viceversa. Por lo tanto, $$|R_1 - R_2| = M + N = \frac {1} {2} (n + m - 1) \leqslant \max \{m ,n\}$$ since $\min \{m, n\} \leqslant \frac {1} {2} (m + n) \leqslant \max \{m, n\}$. Now since $f (m, n) = \frac {1} {2} |R_1 - R_2|$ we have $$f (m, n) \leqslant \frac {1} {2} \max \{m, n\}.$$

(c), Ya que para muchos de $m$ $n$ tenemos $f (m, n) = \frac {1} {4} (m + n - 1)$, está claro que $f (m, n)$ crece sin límite. Así que la prueba está completa.

"Notas sobre la Olimpiada de Problemas", Nima Bavari, Teherán, 2006.

Answer 2

usted puede encontrar una solución aquí: http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/isoln/isoln976.html