Podemos resolver esto sin cúbicos fórmula?

Question

Estoy buscando una solución algebraica para $x$.

$$ \frac{x}{x+2} -3 = \frac{5x}{x^2-4}+x$$

Mi primer paso en este implicaba convertir esto en una expresión con un cúbicos numerador y $(x+2)(x-2)$ como el denominador. Para encontrar las raíces, luego trató de dividir cada factor en el denominador a cúbicos. Ningún éxito.

Me he convertido esta expresión:

$$ x(x-7)= (x+3)(x+2)(x-2)$$

que ilustra la futilidad de mi primera aproximación. No hay factores comunes. Puedo solucionar esto sin invocar el cúbicos fórmula?

Edit: Para aclarar, el Precálculo de libros de texto llamadas de una expresión algebraica y gráfica de la solución. Si usted tiene una expresión algebraica de la solución de que sería accesible a un precálculo del estudiante, por favor proporcione.

Answer 1

Asumiendo $x^2\neq 4$, al final con la ecuación cúbica $$x^3+2 x^2+3 x-12=0$$ So, consider the function $$f(x)=x^3+2 x^2+3 x-12 \implies f'(x)=3 x^2+4 x+3$$ La primera derivada no cancelar lo que significa que sólo hay una raíz real.

Ahora, el uso de la inspección : $f(0)=-12$, $f(1)=-6$, $f(2)=10$. Así, la raíz está entre el$1$$2$. Mirando más profundo $f(\frac 32)=\frac 38$ diciendo que la raíz está ligeramente por debajo de la $1.5$.

Hacer $x=y+\frac 32$, lo que hace que la ecuación sea $$g(y)=y^3+\frac{13 y^2}{2}+\frac{63 y}{4}+\frac{3}{8}$$ if we admit that $y$ is small, then $$g(y) \approx \frac{63 y}{4}+\frac{3}{8}=0 \implies y=-\frac{1}{42}$$ Así, una solución aproximada es $$x \approx \frac 32-\frac{1}{42}=\frac{31}{21}\implies f(\frac{31}{21})=\frac{34}{9261}$ $ , que es ahora muy pequeño.

Repita el proceso, haciendo que ahora $x=y+\frac{31}{21}$ dando $$g(y)=y^3+\frac{45 y^2}{7}+\frac{2270 y}{147}+\frac{34}{9261}$$ then $$g(y) \approx \frac{2270 y}{147}+\frac{34}{9261}=0 \implies y=-\frac{17}{71505}$$ Así, una solución aproximada es $$x \approx \frac{31}{21}-\frac{17}{71505}=\frac{105538}{71505}\approx 1.47595$$ while the exact solution (solving the cubic) would be $\aprox 1.47595$ !

Answer 2

El límite de la ecuación se reduce a la cúbico $x^3 + 2 x^2 + 3 x - 12 = 0$ a que la verdadera raíz:

$$ x = \dfrac{1}{3} \left(-2 - \dfrac{5}{\sqrt[3]{181 + 9 \sqrt{406}}} + \sqrt[3]{181 + 9 \sqrt{406}} \right) $$

No veo cómo eso podría ser derivadas sin el uso de la cúbico fórmula, o de lo contrario manualmente la duplicación de los pasos que conducen a ella.

Si yo fuera a suponer, sin embargo, me imagino que un par de signos podría haberse invertido en la transcripción. De hecho, el siguiente similares ecuación se reduce a la cúbico $x^3- 4 x^2- x + 12 = 0\,$, que tiene la fácil encontrar racional raíz de $x=3$ y, a continuación, los factores en $\,(x - 3) (x^2 - x - 4) = 0\,$:

$$\frac{x}{x \color{red}{\,\mathbf{-}\,} 2} \color{red}{\,\mathbf{+}\,} 3 = \frac{5x}{x^2-4}+x$$