Probar que la unión creciente de ideales es un ideal.

Question

Demuestra que $I_{1} \subseteq I_{2} \subseteq I_{3} \subseteq....$ son ideales de $R$ entonces $\bigcup_{n =1} I_n$ es un ideal de $R$. Estoy teniendo dificultades para imaginar esto en mi mente. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sea $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ una cadena ascendente de ideales en un anillo $R$. Definimos $I = \bigcup_{n = 1}^\infty I_n$. Primero mostramos que $I$ es un grupo abeliano aditivo:

1. Sean $x, y \in I$, entonces $x \in I_m$, $y \in I_n$ para algunos $m, n \in \mathbb N$. Dado que estamos en una cadena ascendente de ideales, $I_m \subseteq I_n$ o $I_n \subseteq I_m$. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $I_m \subseteq I_n$, entonces $x, y \in I_n$. Dado que $I_n$ es un ideal, es un grupo abeliano aditivo, y en particular está cerrado bajo la adición, es decir, $x + y = y + x \in I_n$. Por lo tanto, $x + y \in I$ y también obtenemos que $I$ es conmutativo bajo la adición.
2. Sea $x \in I$, entonces $x \in I_n$ para algún $n \in \mathbb N$. Dado que $I_n$ es un ideal, es un grupo aditivo, entonces $-x \in I_n$. Así que $-x \in I$.
3. Observamos que $0 \in I$ ya que $0 \in I_1$ y $I_1$ es un ideal y por lo tanto un grupo abeliano aditivo, así que tiene una identidad aditiva: $0$.

Ahora mostramos que $I$ absorbe elementos de $R$. Dado que estamos trabajando en un anillo conmutativo con identidad, no tenemos que preocuparnos por ideales izquierdos y derechos. Sea $d \in R$ e $i \in I$ de forma arbitraria. Dado que $i \in I$, entonces $i \in I_n$ para algún $n \in \mathbb N$. Dado que $I_n$ es un ideal, tiene la propiedad de absorción, por lo tanto $id \in I_n$ y así $id \in I$. Concluimos por definición que $I$ es un ideal.