Solucionar $\sin(2\theta) -\tan(\theta) = 0 \ $ $ 0\leq \theta \leq 2\pi $

Question

Quiero usar el hecho de que $$\sin(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 + \tan^2(\theta)}$$

para solucionar $\sin(2\theta) -tan(\theta) = 0 \ $ $ 0\leq \theta \leq 2\pi$

Mi solución:

$\frac{2tan(\theta)}{1 + tan^2(\theta)} - tan(\theta) = 0 $

por lo $\frac{2tan(\theta) - (1 + tan^2(\theta)) tan(\theta)}{1 + \tan^2(\theta)} = 0$

por lo $ 2tan(\theta) - (1 + tan^2(\theta)) tan(\theta)= 0$

$ \implies \tan^3(\theta) + \tan(\theta) = 0$ $\implies \tan(\theta) [\tan^2(\theta) + 1] = 0$ $\implies \tan(\theta) = 0 \;\textrm{or}\; \tan^2(\theta) + 1 =0 $ desde $\theta$ debe ser real.

A continuación, vamos a resolver $\tan(\theta) = 0$ $\implies$ $\theta = n\pi, \ \ $ $ n \in Z \ \ $ por lo $\theta = \pi,2\pi$

Answer 1

Te estás perdiendo una solución $$ \sin(2x) = 2 \cos x \sin x = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \cos^2x = \frac{1}{2} $$ $$\therefore \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \quad or \quad \sin x = 0 $$

Answer 2

Otra forma de resolver:

Desde la identidad de $\sin (2\theta)=\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$, la ecuación de $\sin (2\theta)-\tan\theta=0$ es equivalente a \begin{align} \left(\dfrac{2}{1+\tan^2\theta}-1\right)\tan\theta&=0\;\;\;\text{ or}\\ \left(\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\tan\theta&=0\;\;\;\text{ or}\\ \frac{(1+\tan\theta)(1-\tan\theta)\tan\theta}{1+\tan^2\theta}&=0 \end{align} De ello se desprende $\tan\theta=\pm 1$ o $\tan\theta=0$. Por lo tanto $\theta=0,\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\pi,\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},2\pi$ son las soluciones en $[0,2\pi]$.

Answer 3

Intente esto \begin{align} \sin2\theta&=\tan\theta\\ \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta}&=\tan\theta\\ \frac{2}{1 + \tan^2\theta}&=1\\ \tan^2\theta-1&=0\\ (\tan\theta-1)(\tan\theta+1)&=0. \end{align}

Answer 4

tan cuadrado de theta = 1 en realidad puede ser convertido en una ecuación cuadrática y resuelto, a continuación, reemplazar de nuevo cuando haya terminado. Lo siento, no se puede editar respondió a esta en un apuro.