Me he esforzado por resolver este tipo de ecuación de congruencia: $$ax = b \pmod n$$ y finalmente logré resolver algunos utilizando propiedades como $$\text{if}\quad \begin{cases} ax=b \pmod n \\ cx=d \pmod n \end{cases} \quad\text{then}\quad acx = bd \pmod n$$ pero todavía hay algunas congruencias simples que no soy capaz de resolver como $$25x=15\pmod{29}.$$
Intenté hacer uso de lo anterior y de la propiedad transitiva de las congruencias, pero eso no funciona aquí.
Ahora, quería preguntar si hay algún otro método para resolver congruencias. Lo pregunto porque tengo muy poco conocimiento de las congruencias. Tengo el libro de teoría de números de Burton y eso me ayudó mucho más que el texto de Zuckerman. Pero, todavía hay algunos temas que no soy capaz de hacer todavía.
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No es cierto que $ax\equiv b,cx\equiv d\bmod n\implies acx\equiv bd$ mod $n$ . Más bien, implica $acx^2\equiv bd$ mod $n$ . De todos modos, para resolver $ax\equiv b$ mod $n$ cuando $\gcd(a,n)=1$ se multiplican ambos lados por $a^{-1}$ para conseguir $x\equiv a^{-1}b$ mod $n$ , donde $a^{-1}$ es el inversa . Si $a$ y $n$ comparten un factor común, entonces $b$ no comparte todos los mismos factores y la congruencia no tiene solución, o se puede utilizar que $am\equiv bm$ mod $km$ implica $a\equiv b$ mod $k$ para sacar los factores comunes de la congruencia original.
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Por favor, vea meta.math.stackexchange.com/questions/3399/ y considere aceptar las respuestas a algunas de sus preguntas.
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Ayer mismo respondí a una pregunta estrechamente relacionada con la anterior, y enlacé a otra pregunta estrechamente relacionada con la anterior que había respondido hace algún tiempo. Vea mi respuesta más abajo. He enlazado a esa respuesta anterior. Cubre más o menos la situación cuando se trabaja con un número primo.