Brachistochrone problema en general de la relatividad

Question

Esta pregunta Brachistochrone Problema para no Homogéneas Potencial que tiene la extensión obvia. Es decir, la misma pregunta, cuando la gravedad es tratada de acuerdo a la relatividad general. Para hacer específico vamos a considerar el caso de la métrica de Schwarzschild. Dado a los puntos, fuera del horizonte de sucesos, ¿cuál es la trayectoria (o el worldline) de una prueba de cuerpo, que va desde el primer punto al segundo por menos tiempo. Considerados desde el punto de vista de un observador distante en reposo (con respecto a la estrella/orificio trasero). Por supuesto, otras métricas o en el caso general, también son interesantes.

No pude encontrar mucho por la búsqueda en la red. Hay un artículo con el título sugiere la pertinencia (en realidad más, pero este parece muy relevante), pero es más de 60 páginas de tecnicismos. Así que sería bueno ver una respuesta más breve.

Answer 1

Actualización: he realizado una serie de errores en la versión original de este post, aunque creo que todas las grandes ideas son correctas. Traté de arreglarlo todo, pero yo no estaría sorprendida si he cometido errores adicionales.

Estoy bastante seguro de que este es un problema muy difícil! Yo creo que no sé cómo empezar, pero dudo que pueda terminar.

Voy a trabajar en coordenadas de Schwarzschild, con $c=1$, el radio de Schwarzschild $R$, e $(+---)$ firma, por lo que la métrica es $$ ds^2=(1-R/r)dt^2-(1-R/r)^{-1}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2). $$ Todas las medidas que pueden adoptarse para mentir en el plano ecuatorial $\theta=\pi/2$.

Para una partícula que viaja en una geodésica en esta geometría, la energía-como el conservado la cantidad (es decir, la derivada de tiempo-la traducción de la invariancia de la métrica) es $u_0$ donde $u$ es la 4-velocidad. Voy a llamar a esta cantidad $E$ (es realmente la energía por unidad de masa): $$ E=\left(1-{R\sobre r}\right)\left(dt\sobre d\tau\right). $$

Voy a asumir que esta cantidad se conserva incluso para nuestros partículas que pasan zumbando a lo largo del tubo. Estoy bastante seguro de que este es el correcto de la generalización de la hipótesis de que la restricción de las fuerzas debido a que el tubo no hacer ningún trabajo. Creo que se podría probar esto mirando la física en un marco de referencia inercial en el que el tubo está en reposo de la partícula de genios. En ese marco, la anterior ley de conservación de la energía es equivalente a la afirmación de que la partícula la velocidad es constante, lo que sigue a partir de un especial análisis relativista en ese marco, debido a que el tubo se empuja en una dirección perpendicular a la velocidad.

A continuación, utilizamos el hecho de que los cuatro la velocidad de la unidad de la norma: $$ 1=u_\mu u^\mu=(1-R/r)\dot t^2-(1-R/r)^{-1}\dot r^2-r^2\dot\phi^2, $$ donde los puntos de la media de $d/d\tau$.

Dividir a través de por $\dot t^2$: $$ \dot t^{-2}=1-{R\sobre r}-\left(1-{R\sobre r}\right)^{-1}\left({dr\más de dt}\right)^2-r^2\left({d\phi\más de dt}\right)^2. $$ Express $\dot t$ en términos de energía, y reorganizar: $$ \left(1-{R\sobre r}\right)^{-1}\left(dr\más de dt\right)^2+r^2\left(d\phi\más de dt\right)^2 =1-{R \sobre r}-\left(1-R/r\sobre E\ \ derecho)^2. $$ Dicen que la partícula se inicia desde el reposo en la posición $r_0$. A continuación,$E=(1-R/r_0)^{1/2}$. Así $$ dt=\sqrt{(1-R/r)^{-1}(dr/d\phi)^2+r^2\más de 1-R/r-(1-R/r)^2/(1-R/r_0)}\,d\phi. $$ Si nuestros puntos iniciales se $(r_0,0)$$(r_0,\alpha$), luego la cantidad que queremos minimizar es $$ t=\int_0^\alpha \sqrt{(1-R/r)^{-1}(dr/d\phi)^2+r^2\más de 1-R/r-(1-R/r)^2/(1-R/r_0)}\,d\phi. $$ En principio se pueden utilizar el estándar de cálculo de variaciones técnicas desde aquí para obtener $r(\phi)$.

Eso es suficiente para mí! Usted dijo en los comentarios que te gustaría ser feliz con lo funcional. ¿Es usted feliz?

Answer 2

Vale la pena ampliar el empuje de Ted Bunn enfoque de los casos más generales. Supongamos que usted tiene un general de la estática en el espacio-tiempo $$ds^2 = -e^{2\nu} dt^2 + h_{ij}dx^idx^j,$$ where the Latin indices sum over spatial terms, as usual. The factor of $2$ is purely traditional, meant to simplify various quantities, especially for the spherically symmetric case $h_{ij}dx^idx^j = e^{2\lambda} dr^2 + d\Omega^2$, of which the Schwarzschild spacetime is a particular example. Let's also distinguish "proper" brachistochrones (minimizing proper time $\tau$) from "coordinate" brachistochrones (minimizing coordinate time $t$).

Sabemos que $-d\tau^2 = -e^{2\nu}dt^2 + h_{ij}dx^idx^j,$ y debido a que el espacio-tiempo es estático, es también estacionario con el campo de muerte $\partial_t$ que produce una conserva de corriente $\epsilon = -\langle\partial_t,u\rangle = e^{2\nu}(dt/d\tau)$, la energía específica. Así, por cada timelike de tales específico de energía, la sustitución de la última en la antigua da $$h_{ij}dx^idx^j = -d\tau^2[ 1 - e^{2\nu}(dt/d\tau)^2] = -d\tau^2[1 - \epsilon^2/e^{2\nu}].$$ Aha! El buen brachistochrones de energía específica $\epsilon$ son simplemente geodesics de la de Riemann colector con la métrica $$dS_\tau^2 = \frac{h_{ij}dx^idx^j}{\epsilon^2/e^{2\nu} - 1}.$$ Para el espacio-tiempo de Schwarzschild, esto es $$dS_\tau^2 = \frac{(1-R/r)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2}{\epsilon^2(1-R/r)^{-1} - 1}.$$

Vamos a considerar ahora la coordenada brachistochrones. El planteamiento es el mismo: $$h_{ij}dx^idx^j = dt^2e^{2\nu}[1 - e^{-2\nu}(d\tau/dt)^2] = dt^2e^{2\nu}[1 - e^{2\nu}/\epsilon^2],$$ de manera que la coordenada brachistochrones son los geodesics de $$dS_t^2 = \frac{h_{ij}dx^idx^j}{e^{2\nu}(1 - e^{2\nu}\epsilon^{-2})}.$$ Para el espacio-tiempo de Schwarzschild, esto es: $$dS_t^2 = \frac{(1-R/r)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2}{(1-R/r)(1-(1-R/r)\epsilon^{-2})},$$ que coincide con Ted Bunn del resultado bajo los supuestos de que la trayectoria es en el plano ecuatorial ($d\Omega = d\phi$) y la partícula comienza en el resto de $r=r_0$ ($\epsilon^2 = (1-R/r_0)$).

Aún más generales de tratamiento en un arbitrario estacionario (no necesariamente estática!) el espacio-tiempo es posible, y fue realizada por V. Perlick en J. Math. Phys. 32, 3148 (1991), que trata el problema de una forma más geométrica, de forma abstracta e incluye brachistochrones en Gödel rotación del universo.