Encontrar el determinante de la transformación lineal $L(A)=A^T$ $\mathbb{R}^{n\times n}$ $\mathbb{R}^{n\times n}$

Question

Encontrar el determinante de la transformación lineal $L(A)=A^T$$\mathbb{R}^{n\times n}$$\mathbb{R}^{n\times n}$. La solución es $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$. He encontrado algunos recursos para hacer esto cuando para el caso de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ $\mathbb{R}^{2\times 2}$(de hecho, de stackexchange), pero en el $n$ de los casos, estoy muy confundido acerca de la fórmula.

Utilizando la misma lógica que la de 2x2 caso, me da que en un equivalente de asignación de $L:\mathbb{R}^{n^2} \rightarrow \mathbb{R}^{n^2}$ es de: $L(e_{11},e_{12},e_{nn})=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} \\ e_{21} \\ \vdots\\ \vdots \\ e_{nn} \end{bmatrix}$

Donde podemos encontrar el determinante de la gran $0$ $1$ matriz (vamos a llamar a la matriz B) para hallar el determinante de la transformación lineal L. sé que $det(B)=(-1)^s$ donde $s=$el número de intercambios realizados para obtener B en rref forma. Sin embargo, no puedo ver cómo tenemos $\frac{n(n-1)}{2}$ swaps y no $n$ swaps?

Answer 1

El mapa de $A\mapsto A^T$ es una involución: su plaza es la identidad. Así, se divide el espacio de $\mathbb{R}^{n\times n}$ en dos subespacios propios: uno con autovalor $+1$ y el otro con autovalor $-1$. El factor determinante del operador, a continuación, $(-1)^d$ donde $d$ es la dimensión de la $(-1)$-espacio propio.

El $(+1)$-autoespacio consta de las matrices con $A^T=A$, la simétrica las matrices. El $(-1)$-autoespacio consta de las matrices con $A^T=-A$, el skew-simétrica las matrices.

Así que, ¿cuál es la dimensión del espacio de sesgar-matrices simétricas?

Answer 2

La solución es la correcta, pero tienes razón que no viene de forma natural de contar el número de fila de los swaps:

Su matriz es de tamaño $n^2\times n^2$. La primera y la última fila están bien y no necesitan intercambiarse. Cada uno de los otros $n^2-2$ filas necesita ser movido; de hecho, usted debe intercambiar la segunda y la segunda a la última fila, la tercera y la tercera a la última fila, etc.

Al $n$ es uniforme, ya que cada intercambio corrige dos filas, usted necesita $\frac{n^2-2}{2}$ swaps total. Al $n$ es extraña, no es necesario intercambiar la fila del medio, por lo que necesita $\frac{n^2-3}{2}$ swaps. Ambos casos pueden codificarse mediante la fórmula $\frac{n^2-n}{2}$, ya que tiene la misma paridad que la respuesta se calculó para cada uno de los dos casos.

Answer 3

Tomando la transposición, se intercambia cada simétrica par de fuera de la diagonal de los elementos $\{a_{ij},a_{ji}\}$ ( $i\ne j$ ) en la matriz de $A$. Ahora hay $\frac{n(n-1)}2$ de estas parejas. De ahí la respuesta.