Los signos de los coeficientes de Maclaurin de $\frac{1}{e^x+q}$

Question

Mi pregunta se basa en la pregunta por Robert Israel. Sólo hay una respuesta por parte de Lucía y también dos comentarios útiles (por Lucía demasiado), desde la cual entendemos, que si $$\frac{1}{e^x+q}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_{n}\frac{x^n}{n!}$$ así los signos de $F_{n}$ ser el mismo como signos de $$\cos\left((n+1)\arctan\left(\frac{\pi}{\log q}\right)\right)$$ para $q=3$.

Es obvio a partir de Lucía respuesta (no comentarios)? Si no, ¿por qué es eso cierto? Es cierto para cualquier $q$?

Answer 1

Para determinar el comportamiento asintótico de los coeficientes de MacLaurin $F_n$ de una función de $f(z)$, la contestadora, implícitamente, se utiliza un enfoque debido a Darboux (ver Olver, Asintóticas y Funciones Especiales (1997) 4.9.2, p. 310). Supongamos que $r$ es la distancia desde el origen de la más cercana a la singularidad de $f(z)$, si podemos encontrar una `función de comparación" $g(z)$ con las propiedades

• $g(z)$ es isomorfo en $0<\left|z\right|<r$

• $f(z)-g(z)$ es continua en a$0<\left|z\right|\le r$

• Los coeficientes $b_n$ en la expansión Laurent \begin{equation} g(z)=\sum_{-\infty}^\infty b_nz^n \end{equation} hemos conocido el comportamiento asintótico,

entonces, para $n\to\infty$, \begin{equation} F_n=b_n+o\left( r^{-n} \right) \end{equation} La función \begin{equation} f(z)=\frac{1}{e^{z}+q} \end{equation} es meromorphic y tiene polos en \begin{equation} z_n= \ln q+\left( 2n+1 \right)i\pi \end{equation} donde $n$ es un número entero. La más cercana a los polos se $z_1=\ln q+i\pi $ e $z_{-1}=\bar{z_1}$. Residuos correspondientes son tanto $-1/q$. Elegimos \begin{equation} g(z)=-\frac{1}{q}\left( \frac{1}{z-z_1}+\frac{1}{z-z_{-1}} \right) \end{equation} satisface las condiciones exigidas en \begin{equation} g(z)=\frac{1}{q}\sum_{n=0}^\infty \left( z_1^{-n-1}+z_{-1}^{-n-1}\right)z^n \end{equation} y así, denotando $z_1=\rho e^{i\varphi}$, \begin{equation} b_n=\frac{2}{q}\rho^{-n-1}\cos\left( n+1 \right)\varphi \end{equation} entonces \begin{equation} F_n\sim\frac{2}{q}\rho^{-n-1}\cos\left( n+1 \right)\varphi \end{equation} Sus signos son por lo tanto aproximadamente dada por la de $\cos\left(\left( n+1 \right)\arctan\frac{\pi}{\ln q} \right)$

Por último, se señaló que, cuando se $q=3$, tenemos $\varphi\simeq \frac{11\pi}{28}$ con una buena precisión. Esto explica el cerca de 28 periodicidad de los coeficientes.