Ejercicio 1: Teoría De Galois (J. Rotman)

Question

Definición: Dejar $F$ una figura en el plano, su grupo de simetría se define por $\Sigma(F):=\{\sigma \in O(2,\Bbb R)\mid \sigma(F)=F\}$. Aquí $O(2,\Bbb R)$ denota el real ortogonal grupo.

Ejercicio 1:

$\quad$ a) Si $F$ es un cuadrado, demostrar que $\Sigma(F)\cong D_8$, el diedro grupo de orden $8$.

$\quad$ b) Si $F$ es un rectángulo que no es un cuadrado, demostrar que $\Sigma(F)\cong\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2$.

$\quad$ c) Dar un ejemplo de cuadriláteros $Q$$Q'$$\Sigma(Q)\cong \Bbb Z_2$$\Sigma(Q')=1$.

Contexto: Como se ha dicho en el título, este ejercicio trata al final de un capítulo en un libro. He resumido en este capítulo en este entorno limitado.

Mis pensamientos:

$\quad$ a) es claro para mí que no es $4$ eje de simetría en un cuadrado. La inducida por la simetría $\sigma$ son lineales, y preservar las distancias. Esto hace que $8$ elementos, ya que $\sigma$ es de orden $2$. Por otra parte, sabemos por el Teorema 3 (en resumen) que $\Sigma(F)$ es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico $S_4$ $D_8$ tiene ocho elementos. Pero realmente no puedo concluir a partir de aquí (y el comienzo de la prueba no suena muy riguroso).

$\quad$ b) Aquí, tenemos $2$ eje de simetría de cada una simetría de orden $2$ y podemos componer con ellos así que tiene sentido para mí que $\Sigma(F)\cong\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2$. Sin embargo, estoy luchando (de nuevo) a escríbelo en una más manera matemática.

$\quad$ c)

$\quad$

PS: la diversidad de enfoques es muy bienvenida

Answer 1

a) Puede ser que podemos describir.

Vamos a denotar $$\sigma :P\mapsto Pe^{i\frac{\pi}{4}}\quad\text{and}\quad\rho:P\mapsto -P$$ You clearly have the identity, $\sigma$, $\sigma ^2$ and $\sigma ^3$ and $\rho$ that are in $\Sigma(F)$. Now if you apply $\rho$, then you can also apply $\sigma \sigma ^2$ and $\sigma ^3$ on $\rho(P)$, therefore $\sigma \rho,\sigma^2\rho$ and $\sigma ^3\rho$ are also in $\Sigma(F)$, we thus have $8$ elements. Now remark that $$\sigma ^4=1,\quad \rho^2=1,\quad\text{and}\quad\sigma \rho\sigma \rho=1,$$ therefore, $\Sigma(F)\cong \mathcal D_8$.

b) Aquí, sólo tiene la identidad, $\varphi:=\sigma ^2$, $\rho$ y $\varphi\rho$. Es fácil demostrar que todos estos elemento tiene orden 2 y que viajan. Usted sabe que un conmutativa grupo con 4 elementos es isomorfo a $\mathbb Z_4$ o $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$. Pero como todos estos elementos ha pedido $2$, llegamos a la conclusión de que $\Sigma(F)\cong \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$.

c) Su figura son correctos.

Answer 2

La parte (a): vamos a $r$ ser la rotación de $\frac \pi2$ en todo el centro de la plaza y $s$ la simetría con respecto a una de las diagonales del cuadrado. El otro (axial) simetrías son $sr, sr^2, sr^3$. Simetría con respecto al centro de la plaza es $r^2$ y el inverso de rotación es $r^3$.

Ahora el grupo diedro $D_4$ es generado por dos elementos $a$ $b$ que satisfacen las siguientes relaciones: $$a^4=1,\quad b^2=1,\quad ab=ba^3.$$ Estas son exactamente las relaciones satisfecho por $r$$s$. Tan sólo tienes que definir un morfismos de $\Sigma(\text{square})$ $D8$(o $D_4$ según otras normas) mediante el envío de $r$ a $a$, $s$ a $b$, que se extiende a los otros elementos, por lo que es compatible con el grupo de leyes.

Parte (b): el mismo método. $\Sigma(\text{rectangle})$ contiene cuatro elementos: $\operatorname{id}$, la simetría con respecto al centro del rectángulo $s_O$ y las simetrías con respecto a los ejes horizontal y vertical, $s_H$$s_V$. Definir un mapa de $\Sigma(\text{rectangle})$ $\mathbf Z_2\times \mathbf Z_2$mediante el envío de $\operatorname{id}$ a $(0,0)$, $s_H$ a $(1,0)$, $s_V$ a$(0,1)$$s_0$$(1,1)$, a continuación, compruebe que es compatible con el grupo de leyes