Mostrar que la ecuación tiene exactamente una solución para cada $C>0$

Question

Demostrar que la ecuación de $$C=\left ( 1+x+\frac{1}{2}x^{2} \right)*e^{-x}$$

tiene exactamente una solución para cada una de las $C>0$.

Pues bien yo lo hice como que no, pero estoy seguro si es correcto:

$0<\left ( 1+x+\frac{1}{2}x^{2} \right)*e^{-x}$ |: $e^{-x}$

$0<\left ( 1+x+\frac{1}{2}x^{2} \right)$ | *$2$

$0<\left ( 2+2x+x^{2} \right)$

$0<x^{2}+2x+2$

$0 < \left ( x+1 \right)^{2}+1$

$0 < x+1+\sqrt{1}$

$x > -2$

Para ser honesto, no estoy seguro de si mi preparación es correcto en absoluto. "mostrar(...) exactamente una solución para cada una de las $C>0$" me confunde.

De nuevo, esto no es la tarea, la práctica, sólo para mí. Si alguien quiere puedo subir el pdf (por ejemplo, para nuestro examen) aquí.

Answer 1

Si $g(x)$ es una función derivable, la derivada de $g(x)e^{-x}$ está dado por $\left(g'(x)-g(x)\right)e^{-x}$.
Si $g(x)=\sum_{k=0}^{2n}\frac{x^{k}}{k!}$ tenemos que $g'(x)-g(x)$ es un monomio y una función par, por lo tanto $f(x)=g(x)e^{-x}$ tiene un único punto fijo en el origen y es una función decreciente.
Desde $\lim_{x\to +\infty}g(x)e^{-x}=0$$\lim_{x\to -\infty}g(x)e^{-x}=+\infty$, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ es un bijective función.

Aquí es cómo nuestro comportamiento de las funciones en una vecindad del origen, para $n\in\{0,1,2,3\}$:

$\hspace{1in}$

Answer 2

Que \leq #% entonces $f(x) = e^{-x} (1 + x + x^2/2)$$$f'(x) = -\frac{1}{2}x^2e^{-x}$x^2$ via the product rule, this shows that (since $e^{-x}$ and $x$ are non-negative for all real $f'(x) %#% 0 $) that $f $ and so $x \to-\infty$ is a decreasing function. It is obviously continuous and tends to (positive) infinity as $0$ and tends to $x \to \infty$.