Cada vector propio de $A$ es ortogonal a un vector propio de $A^T$

Question

Que $A \in M_n(\mathbb R)$ tienen al menos dos valores propios distintos. Por qué es que:

¿Para cada vector propio de $A$, existe un vector propio de $A^T$ que es ortogonal a él?

He intentado explotar los dos hechos: $Au = \lambda u$ $\lambda$ y $\langle Ax,y \rangle = \langle x, A^T y \rangle$. Sin embargo, nada vino en mente.

Sé que la solución debe ser muy fácil. Supongo que estoy teniendo un mal día.

Por favor solo deje sugerencias.

Answer 1

Sugerencias:

• $A$ y $A^T$ tienen el mismo conjunto de valores propios.
• Que $x = u$ y $y$ sea un vector propio $A^T$ con un valor propio distinto.

Espero que ayude.

Answer 2

De hecho, esto es cierto para cualquier matriz de $n\times n$ $n\geq 2$, o no tiene valores propios distintos.

Un buen método es utilizar triangularization Schur. En particular, podemos reducir esta cuestión para el caso en que $A$ es superior triangular.

Que ${e_1,\dots,e_n}$ denota la base estándar de $\Bbb C^n$. Si $A$ es superior triangular, $e_1$ es un vector propio de $A$ y $e_n$ es un vector propio de $A^*$. Estos vectores son mutuamente ortogonales.