Cuando se habla de cociente anillo $A/I$, donde $A$ es un anillo, $I$ a menudo asume que un ideal. ¿Por qué es esto así? ¿Lo que hace ideales muy importantes cuando se habla de anillo cociente?
Respuestas
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James Pearce
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En primer lugar, para construir el espacio cociente, desea que la relación $\sim$ $x\sim y\iff x-y\in I$ a ser una relación de equivalencia define. Entonces usted quiere ser capaz de definir las operaciones para el cojunto así que $[x]+[y]=[x+y]$ $[xy]=[x][y]$ están bien definidos y dar el $A/I$ la estructura de un anillo. De estos requerimientos que se deduce que $I$ es un ideal. Es decir, no pueden formar el anillo cociente si $I$ no es un ideal.
Jeff Leonard
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Aquí es bastante intuitiva para ver por qué $I$ debe ser un ideal para el cociente a ser un anillo.
Cuando tomamos un cociente $R/I$, lo que nos gustaría hacer es identificar todos los elementos de a $I$ con un solo elemento y, a continuación, identificar otros elementos "como sea necesario".
Recordando que $R$ es en particular un aditivo de grupo, para conseguir un buen cociente queremos $I$ a un subgrupo (y, afortunadamente, la normalidad es automática como el grupo abelian). Esto significa que la estructura aditiva en $R/I$ debe ser uno de los que estamos acostumbrados a tomar un cociente de grupos, y en particular, se necesitan identificar todos los elementos de a$I$$0$.
Ahora (escrito $\overline{y} = y + I$ para la clase que contiene a$y$$R/I$), obtenemos que para cualquier $r\in R$ $x\in I$ tenemos $$\overline{rx} = \overline{r}\cdot\overline{x} = \overline{r}\cdot\overline{0} = \overline{r\cdot 0} = \overline{0}$$
Así que para todos los $r\in R$ $x\in I$ vemos que $\overline{rx} = \overline{0}$$R/I$. Pero la forma en que lo hizo el de la construcción, no sólo lo quería para identificar todo lo en $I$$0$, no queríamos identificar cualquier otra cosa con $0$ (ya que quería tomar la costumbre cociente de grupos). Por lo que la anterior, precisamente, dice que $rx\in I$.
En cierto sentido, esto significa que el hecho de que siendo un ideal es suficiente para definir una estructura de anillo en el cociente en realidad es un poco de una sorpresa (que bien podríamos tener necesitaba algo más fuerte, como hemos descrito anteriormente sólo se utiliza que multiplicando con $0$ da $0$). Pero por supuesto que es un ejercicio fácil que ser un ideal es suficiente.
