Teorema de incompletitud y $\mathbb{L}$.

Question

Sea $\alpha > \omega$ y $u = \{\ulcorner \sigma \urcorner : \sigma \in \mathrm{Th}(\mathbb{L}_\alpha, \in)\} \subseteq \omega$, donde por $\mathbb{L}_\alpha$ denotamos como es usual los conjuntos constructibles hasta el nivel $\alpha$.

Mi pregunta es "¿Podemos tener $u \in \mathbb{L}_\alpha$?".

Supongamos que sí. Sea $\phi(x) := x \in u$. Entonces para toda oración $\sigma$ tenemos que $$\mathbb{L}_\alpha \models \phi(\ulcorner \sigma \urcorner) \Leftrightarrow \mathbb{L}_\alpha \models \sigma,$$ es decir, la verdad es definible en $(\mathbb{L}_\alpha, \in)$, lo cual contradice el teorema de incompletitud.

Entonces $\mathscr{P}(\omega) \nsubseteq \mathbb{L}_\alpha$ para todo $\alpha \in \mathrm{ON}$.

Answer 1

Tenga en cuenta que lo mismo puede aplicarse al universo de la teoría de conjuntos:

Por ejemplo, sea $u=\{\ulcorner\sigma\urcorner : \sigma\in\mathrm{Th}(V_\alpha,\in)\}\subseteq\omega$. Entonces para $\alpha>\omega+1$ tenemos que $u\in V_\alpha$. Entonces la fórmula $x\in u$ produce $$V_\alpha\models\ulcorner\sigma\urcorner\in u\iff V_\alpha\models\sigma$$ es decir, no hay nada especial sobre el universo constructible.

El problema con el argumento es que la fórmula $x\in u$ no es definible a partir del lenguaje del modelo (es decir, $\{\in\}$), sino desde el lenguaje con un término constante adicional $u$. El modelo puede no ser capaz (de hecho, por el teorema de Tarski no lo es) de definir -usando su lenguaje- el conjunto $u, lo que no genera conflicto con el teorema de Tarski.

Los subconjuntos de $\omega$ que describes siempre están en $\mathbb{L}$ ya que son definibles con parámetros de $\mathbb{L}_{\alpha+2}$ por ejemplo. Simplemente no son definibles en $\mathbb{L}_\alpha$.

Como una curiosidad interesante (que señala Jech), si $0^\sharp$ existe entonces la teoría de $\mathbb{L}$ es la misma que la de $\mathbb{L}_{\aleph_1}$, por lo que la teoría de $\mathbb{L}$ es un elemento de $\mathbb{L}$. Esto significa que en ese caso el real $\aleph_1$ no es definible en $\mathbb{L$, haciéndolo bastante grande.