Campo eléctrico debido a una placa rectangular FINITA uniformemente cargada

Question

Estaba enseñando a los niños cómo encontrar el campo eléctrico usando la superposición para distribuciones de carga continuas. Pensé que tal vez debería derivar la fórmula para el campo eléctrico debido a la hoja rectangular finita con carga uniforme cargada uniformemente en su eje (ya que el campo eléctrico va a ser a lo largo del eje debido a la simetría) pero me quedé atascado en la siguiente integración.

$$ E = \frac{\sigma r}{4\pi\epsilon_o} \int_{x=-a/2}^{x=+a/2}\int_{y=-b/2}^{y=+b/2} \frac{dx dy}{(x^2+y^2+r^2)^{3/2}} $$

donde \sigma es la densidad de carga superficial.

Nota Esta integración puede realizarse si $a$ o $b$ o ambos son muy grandes, es decir $\infty$ en cuyo caso obtenemos el resultado habitual de $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}$

Así que mi pregunta es, ¿se puede calcular esta integral? Si no es así, ¿qué método para encontrar el campo eléctrico en este caso. También sería bueno si alguien puede comentar como encontrar el campo eléctrico resolviendo directamente la ecuación de Poisson.

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En consecuencia, si tomamos el caso del disco finito, la siguiente es la resultante integración.

$$ E = \frac{\sigma r}{2\epsilon_o} \int_{\xi=0}^{\xi=R} \frac{\xi d\xi}{(\xi^2+r^2)^{3/2}} $$

que se puede resolver como

$$ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_o} \left(1- \frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right) $$

Ahora tomando el límite $R \rightarrow \infty$ podemos demostrar que $E \rightarrow \frac{\sigma}{2\epsilon_o}$ .

Answer 1

Las integrales son difíciles pero no imposibles, a no ser que me haya equivocado con WolframAlpha. El resultado es:

$$E = \frac{\sigma}{\pi \epsilon_0} \arctan\left( \frac{ab}{4r\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2+r^2}} \right)$$

Cuando $a,b \to \infty$ toda la arctangente va a $\pi/2$ y recuperamos $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ lo cual es definitivamente alentador.

Y no sé a qué te refieres con "resolver directamente la ecuación de Poisson". Que yo sepa, la forma habitual de hacerlo es utilizar las funciones de Green, es decir, esta integral.

Answer 2

inicialmente puso $x^2 + r^2 = p^2$

entonces $y = p(\tan(A))$

resolverlo, será en términos en términos de $x$ . y sustituir $\frac{r(\tan(B))}{b} = \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 4r^2 + b^2}}$ Resuélvelo y obtendrás la respuesta fácilmente.

Answer 3

En realidad esta integral se puede resolver por el método de las sustituciones polares. x=rcos(A) e y=rsin(A) donde r es la distancia y A el ángulo en el plano polar. Puedes encontrar más detalles en Cálculo Thomas. Asegúrate de sustituir los límites correctamente y multiplicar la integral por el jacobiano que en este caso es r. Espero que esta respuesta te haya ayudado.

Answer 4

Esta integral no se puede resolver en términos de funciones elementales. Se puede hacer fácilmente una expansión en $\frac{1}{r}$ en el integrando después de hacer una de las integraciones, entonces haciendo la segunda integral después de expandir se obtiene $$ \frac{ab}{r^2}\left(1 - \frac{a^2+b^2}{12 r^2} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r^4}\right)\right) $$ Si quieres resolver la ecuación de Poisson, tienes que usar el método de la función de Green porque tienes una distribución de cargas (a diferencia de cuando sólo tienes la ecuación de Laplace con condiciones de contorno y puedes usar simplemente la separación de variables), esto te llevará directamente a esta integral.

Nota: esta serie es convergente si está interesado en la región $r>\text{max }\left(a,b \right)$

Nota: esto es básicamente la expansión multipolar, donde el primer término es la contribución monopolar, el segundo es el cuadrupolar, etc... (todos los multipolos Impares desaparecen debido a la simetría)