Topología $\text{i})$ ¿Qué es una topología? $\text{ii})$ ¿Qué significa una topología inducida por una métrica?

Question

Ahora estoy tratando de entender qué es una topología y un espacio topológico. Sí, conozco la "definición formal" o "matemática" de la misma, está en mis apuntes así que me resulta fácil reiterarla. Por favor, tened paciencia porque estoy intentando expresar mi confusión lo mejor posible, es un poco difícil incluso hacerlo con palabras.

Esta es la definición a la que me atengo

$X$ es un conjunto. Una topología sobre X es un conjunto de subconjuntos $\tau$ de $X$ con las siguientes propiedades

1. Siempre que $(U_{i})_{i \in I}$ es una familia (finita o no) de subconjuntos de $X$ tal que $U_i \in \tau$ , $\forall i \in I$ entonces $\cup_{i \in I}U_i \in \tau$

2. Siempre que $U_1$ , $U_2 \in \tau$ entonces $U_1 \cap U_2 \in \tau$ .

3. $\phi \in \tau$ y $X \in \tau$

$i$ ) Así que mi problema es, para cada 1,2,3 condiciones, entiendo lo que significan. Así que cada subconjunto en $\tau$ satisface 1,2,3, que en su conjunto, es algún subconjunto de $X$ y lo llamaremos simplemente "una topología" en $X$ ...¿sí?

Mi problema es que no veo qué da de sí este "colectivo". Así que si hay que explicárselo a alguien que no se dedique realmente a las matemáticas, y explicárselo casualmente, ¿qué le diría? ¿qué da este "conjunto de subconjuntos"? ¿No es más que "el conjunto de subconjuntos que satisfacen 1,2,3, fin de la historia"? Esa es probablemente una de las razones por las que no puedo encontrar una topología para un conjunto concreto. Simplemente no sé cómo.

$ii$ ) Y además, la noción de topología inducida por una métrica no me queda clara. La "topología discreta", como oigo muy a menudo, es aparentemente una de las topologías más comunes que es inducida por la métrica discreta.

En mis notas, dice

La topología discreta de $X$ es la colección de todos los subconjuntos de $X$ que es la mayor topología posible en $X$ .

Entonces, si tomo un conjunto de enteros positivos $X=\mathbb{Z}^+$ entonces la topología discreta es $\{\mathbb{Z}^+, \phi,\{1\},\{2\},\{3\},...,\{1,2\},\{1,3\},...,\{2,3\},\{2,4\},...,\{1,2,3\},\{1,2,4\},...\}$ ? Pero incluso si lo es, ¿cómo es esto "inducido por la métrica discreta"? ¿Qué relevancia tiene? Podría haber seguido ciegamente la definición de una topología para obtener todos estos subconjuntos... ¿no? sin utilizar ni hacer referencia a ninguna métrica.

$iii$ ) ¿Y qué es un espacio topológico? Y sí, "sé" que es $(X, \tau)$ donde $\tau$ es una topología en $X$ pero de nuevo, no puedo evitar la confusión cuando pienso en "espacios métricos"

El espacio métrico hasta ahora tiene mucho más sentido para mí. Veo $d(x,y)$ una métrica como una función, por lo que cuando decimos que un espacio métrico $(X,d)$ al igual que la forma en que expresamos $(X,\tau)$ ,lo entiendo como un conjunto $X$ con alguna función $d(x,y)$ que se puede "aplicar" a los elementos de $X$ para "dar un valor", que es la "distancia". Así que es un conjunto $X$ donde he dado un "método" para saber a qué distancia se encuentran 2 elementos cualesquiera en él.

Ahora, $(X, \tau)$ no se me ocurre porque $\tau$ A diferencia de $d(x,y)$ no hace nada para $X$ (¿es así?). Es decir, es sólo un conjunto en un sentido (con algunas características especiales) pero no me permite "elegir algún valor en $X$ " para darme "algún valor" (el que sea). Así que viene a ser, por muy estúpido que parezca, "¿qué sentido tiene tener $\tau$ "? En definitiva... ¿qué es un "espacio topológico"? Un par de conjuntos $X$ y $\tau$ ? Si es análogo al espacio métrico, $d(x,y)$ "definido" en $X$ ¿Qué significa que $\tau$ "definido" en $X$ ?

Espero que los topólogos expertos entiendan en qué me confundo y en qué me equivoco. Realmente necesito que alguien me ilumine aquí, se está volviendo tan abstracto para mí

Te agradezco mucho que hayas leído hasta aquí, efectivamente era una pregunta larga, lo siento. Gracias de antemano por su ayuda

Answer 1

Piensa primero en las funciones de una sola variable real, como en el cálculo básico de primer curso. La intuición detrás de la definición de continuidad es que una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en un punto $x_0$ si y sólo si los puntos que están "cerca" de $x_0$ mapa a los puntos que están "cerca" de $f(x_0)$ . Es una afirmación imprecisa, pero capta la idea básica.

Esta misma definición (informal, impepinable) también recoge lo que significa para una función $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ para ser continua. Buscamos puntos que estén "próximos" y exigimos que los puntos que empiezan "próximos" no se mapeen "separados".

Todo lo anterior se puede hacer más riguroso y formal, y si lo hacemos obtenemos lo habitual $\epsilon - \delta$ definición de continuidad. Pero, ¿qué pasa si damos un paso fuera de esa definición? ¿Qué pasa si queremos hablar de una función de un conjunto a otro, donde los conjuntos no necesariamente tienen que ser pensados como puntos en algún $n$ -¿espacio dimensional? ¿Sigue siendo posible hablar de "continuidad" si carecemos de una forma de hablar de "distancia"?

La definición que citas lo hace. Cada "conjunto abierto" en una topología general define una especie de "cercanía", en el sentido de que dados dos puntos cualesquiera y cualquier conjunto abierto podemos preguntar si esos puntos pertenecen al conjunto, y si lo hacen, podemos decir que esos dos puntos están "cerca" el uno del otro en relación con ese conjunto.

La condición de que todo el espacio $X$ es abierta significa que hay un tipo de "cercanía" "máxima" que no se preocupa de los puntos que se eligen, porque (en relación con $X$ ) dos puntos cualesquiera están "cerca".

La condición de que el conjunto vacío sea también abierto significa que hay un tipo de "cercanía" "máximamente estricta" que no se preocupa de los puntos que se eligen, porque (en relación con $\emptyset$ ) no hay dos puntos "cercanos".

En la mayoría de los espacios topológicos, hay más conjuntos abiertos que sólo esos dos. En general, los conjuntos abiertos anidan unos dentro de otros, de modo que dos puntos pueden estar "cerca" en relación con un conjunto abierto, pero no "cerca" en relación con un conjunto abierto más pequeño. Por tanto, estar juntos en un conjunto abierto generaliza y abstrae la idea de "estar cerca" sin que sea necesario tener una forma de asignar una medida numérica a la distancia entre dos puntos.

Pero a veces hay es una forma de medir la distancia entre dos puntos: un métrica . Y cuando lo hay, esa métrica induce una topología natural, en la que podemos definir " $x$ y $y$ están cerca" para significar " $x$ y $y$ son inferiores a cierta distancia $\epsilon$ de los demás".

Answer 2

Una topología es cualquier colección de conjuntos que satisface las tres condiciones dadas. Esto significa que la mayoría de los conjuntos tienen más de una topología posible que se puede definir sobre ellos. Por ejemplo, hay varias topologías posibles que se pueden definir sobre $\mathbb R$ .

Eso significa que su comentario de

No puedo encontrar una topología para un conjunto determinado.

No tiene sentido, ya que si simplemente te doy un conjunto, no hay manera de que descubras la topología.

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Para mejorar la intuición de la topología, lo más fácil es ver primero las topologías inducidas por los espacios métricos. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces el conjunto de todos los conjuntos abiertos de $X$ (donde Abrir se define utilizando únicamente $d$ ), es una topología sobre $X$ . Recuerde, un conjunto $A$ es Abrir en una métrica dada si para cada elemento $a\in A$ existe una bola que contiene $a$ y está contenida a su vez en $A$ .

Por ejemplo, si $X$ está dotado de una métrica discreta, entonces todo conjunto unitario $\{x_0\}$ es un conjunto abierto porque en realidad es un conjunto abierto bola :

$$\{x_0\}=\{x\in X: d(x,x_0) < \frac12\}.$$

Además, eso significa que cada set $A\subseteq X$ está abierto, porque para cada $a\in A$ puede encontrar una bola que la contenga y que esté contenida en $A$ . Es decir, que la pelota es $\{a\}$ .

Esto significa que el conjunto de todo conjuntos abiertos dada la métrica discreta es sólo el conjunto de todo conjuntos. Por lo tanto, el topología inducida por la métrica discreta es la topología discreta.

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Y por último, preguntas qué es un espacio topológico. Es simplemente un par de conjuntos $(X,\tau)$ . Donde en los espacios métricos, el $d$ es una función que indica las distancias entre elementos de $X$ aquí, $\tau$ es una familia de conjuntos que le dice al propiedades de subconjuntos de $X$ (es decir, te dice qué elementos están abiertos).

Answer 3

Finjamos que existe algo así como "infinitamente cercano". (En general, no existe, pero vamos a fingirlo). Nos importa esto, porque ideas como la "continuidad" dependen de una noción intuitiva de "infinitamente cerca", aunque en realidad no exista (normalmente). Entonces, ¿cómo describiríamos esta noción?

Bueno, con los espacios métricos, si queremos decir que $x$ y $y$ están infinitamente cerca, podemos intentar decir algo como " $d(x,y)<1$ y $d(x,y)<0.1$ y $d(x,y)<0.01$ y " y así sucesivamente. Es decir, lo abordan con la idea de distancia .

Los espacios topológicos lo abordan desde una perspectiva más teórica de los conjuntos. Si queremos decir $x$ está infinitamente cerca de $0$ podríamos decir " $x\in(-1,1)$ y $x\in(-0.1,0.1)$ y $x\in(-0.01,0.01)$ y "

Esta línea de pensamiento te lleva a la idea de un "barrio". (Un conjunto $N$ es una vecindad de $x$ si hay un conjunto abierto $O$ con $x\in O\subseteq N$ .) En esta línea de pensamiento, un barrio de $x$ se espera que contenga todo lo infinitamente cercano a $x$ . La mayoría de la gente introduce la topología en términos de conjuntos abiertos, sobre todo por comodidad. (Un conjunto abierto es un conjunto que es una vecindad de cada uno de sus puntos.) Sin embargo, también he visto que se introduce en términos de vecindades. Realmente no importa, ya que puedes definirlos en términos de cada uno de ellos.

Por lo tanto, el topología de un espacio topológico es el conjunto de conjuntos abiertos en él. Los axiomas de la topología son las propiedades que se espera que tengan los conjuntos abiertos. (Hay algunas propiedades que casi están en la lista, pero la gente optó por la generalidad y decidió que no son necesarias para las topologías. Estoy pensando en las llamadas axiomas de separación (de la que podrá enterarse más adelante).

Answer 4

La topología es un juego.

Puedes inventar las reglas que quieras, siempre que satisfagan las tres propiedades enumeradas. Los conjuntos abiertos pueden ser bonitas bolas, como en un bonito espacio métrico como $R$ o pueden ser muy raros.

El objetivo del estudio de la topología es realizar y utilizar teoremas que no dependen de otras propiedades del espacio, sólo de lo que significa ser abierto y cerrado en ese espacio.

Para alguien ajeno a las matemáticas digo que para la mayoría de los campos: Inventa las reglas que quieras. A veces son interesantes o útiles. La mayoría de las veces no.