Si $f\in\mathbb{F}_p[x]$ es irreducible y tiene una raíz en $\mathbb{F}_{p^n}$ $f$ divide entonces $\mathbb{F}_{p^n}$

Question

Deje $f(X) \in \mathbb F_p[X]$ irreductible con $p$ primer y asumen $\exists \alpha \in \mathbb F_{p^n}: f(\alpha) = 0$ donde $n \geq 1$. Entonces tengo que demostrar que $f$ se divide $\mathbb F_{p^n}$.

Algunas reflexiones generales son que el $\mathbb F_{p^n}$ es el splittingfield de $X^{p^n}-X \in \mathbb F_p[X]$. Puedo ver el $\mathbb F_p(\alpha)$ el cual debe ser un subcampo de la $\mathbb F_{p^n}$ desde $\alpha \in \mathbb F_{p^n}$. Además yo tener ese $f$ divide $X^{p^n}-X$ desde $f$ es irreductible e $\alpha$ es un cero de ambos polinomios.

Estoy bastante confundido. Ayuda por favor :)

Algunas otras consideraciones: Suponga $f(\beta) = 0$ $f| X^{p^n}-X$ obtener $f(X)g(X) = X^{p^n}-X$ $\beta^{p^n}-\beta = 0$ s.t. $\beta \in \mathbb F_{p^n}$ e lo $f$ se divide en $\mathbb F_{p^n}$ ?

Answer 1

He hecho todo pero envolver todo esto:

$$f(x)\mid\left(x^{p^n}-x\right)\iff x^{p^n}-x=f(x)g(x)\implies$$

cada raíz de $\,f\,$ también es una raíz de $\,x^{p^n}-x\,$ y así...

Answer 2

Otra forma de llegar a la conclusión sería observar que si $\alpha$ es una raíz de $f(x)$, entonces así que son $\alpha^p$, $\alpha^{p^2}$, $\ldots$, $\alpha^{p^{n-1}}$ y $\alpha^{p^n}=\alpha$. Como $f(x)$ es irreducible y el producto $$(x-\alpha)(x-\alpha^p)\cdots(x-\alpha^{p^{n-1}})$$ is in $\mathbb{F}_p[x]$, these must be all the roots of $f (x) $. Hence they are in the field $\mathbb {F} __P [\alpha] $.