ejercicio 6 capítulo 0 Hatcher

Question

Estoy empezando a leer el libro de Hatcher sobre Topología Algebraica, y estoy un poco atascado con el ejercicio 6 del capítulo 0.

Dejemos que $Z$ sea el subespacio en zigzag de $Y$ homeomorfo a $\mathbb{R}$ indicado por la línea más gruesa en la imagen:

( ver aquí la imagen y las definiciones )

Demuestre que hay una retracción de la deformación en el sentido débil de $Y$ en $Z$ , pero no una verdadera retracción de la deformación.

Es fácil demostrar que no es posible un repliegue por deformación real, pero ¿cómo se demuestra que es posible un repliegue por deformación débil? Está claro que debemos retraer la deformación en un subespacio desconectado de $Z$ Sin embargo, parece que todos los barrios abiertos de cada punto están desconectados.

Answer 1

Esta es una elaboración de la respuesta de mixedmath.

Para cada punto $a$ en Y, hay un camino natural que lleva desde $Y$ a la derecha. Por ejemplo, si $a$ ya está en el zigzag $Z$ entonces $a$ sólo se desplaza hacia la derecha a lo largo del zigzag. Si $a$ está en una de las cerdas, entonces primero $a$ se desplaza hacia el zigzag, y posteriormente se desplaza hacia la derecha.

Dejemos que $f_a: [0, \infty) \to Y$ sea esta trayectoria, donde el punto viaja a velocidad constante 1.

Considere el mapa $H: Y \times I \to Y$ definido por $H(a, t) = f_a(t)$ , para $0 \leq t \leq 1$ . Afirmo que esta es nuestra homotopía deseada. La única parte que no está clara es la continuidad; hay varios casos que comprobar aquí pero ninguno de ellos es difícil.

Answer 2

HINT

En resumen, imagina que todo "fluye" hacia la derecha (y tal vez hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de dónde se encuentre), por cada uno de los peines.