Entonces, me dan ese$65 = 1^2 + 8^2 = 7^2 + 4^2$, ¿cómo puedo usar esta observación para encontrar dos triángulos pitagóricos con hipotenusa de 65?
Sé que necesito encontrar los enteros$a$ y$b$ tal que$a^2 + b^2 = 65^2$, pero no entiendo cómo derivarlos de esa observación.
Aquí está mi intento.
$65^2 = (8^2+1^2)(7^2+4^2) = 8^27^2 + 1^24^2 + 1^27^2 + 8^24^2 = (8\cdot7)^2 + 4^2 + 7^2 + (8\cdot4)^2$ pero ahora estoy atascado aquí, cualquier sugerencia!
El uso de la Brahmagupta-Fibonacci Identidad $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$ Esta identidad puede ser verificado por la multiplicación de cada lado, y en la mejor de las maneras.
A partir de la Identidad, obtenemos $$65^2=(8^2+1^2)(7^2+4^2)=(8\cdot 7-1\cdot 4)^2 +(8\cdot 4+1\cdot 7)^2.$$
Podemos obtener otra representación de $65^2$ como la suma de dos cuadrados, dejando $c=4$$d=7$.
Comentario: La Identidad da a la utilidad resultado de que el producto de dos números, cada uno la suma de dos cuadrados, es en sí mismo la suma de dos cuadrados.
Como dije, necesitamos resolver un sistema de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones:
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las soluciones tienen la forma:$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=z^2\\&q^2+t^2=z^2\end{aligned}\right.$$$x=4p^4-s^4$$ $$y=4p^2s^2$$ $$q=4ps(2p^2-s^2)$$ $$t=4p^4-8p^2s^2+s^4$$ $PS
$z=4p^4+s^4$ - enteros.
Fórmulas que puedes escribir mucho, pero estarás limitado a esto. Hará un reemplazo.
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La solución entonces es.
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