¿Cómo calcular lo que esta serie de potencias converge contra? (dobles factoriales)

Question

Estoy trabajando en mi física máster en el curso de la tarea y estoy dada la siguiente ecuación de la nada:

$\displaystyle{ 1 + \sum_{n\ =\ 1}^{\infty}{z^n\left(\, 2n - 1\,\right)!! \más de 2n!!} ={1 \over \,\sqrt{\,\vphantom{\large}1 - z\,}\,} }$

Ahora no necesito probarlo para mi Tarea, pero todavía me pregunto, la manera de calcular esta serie. Por supuesto que no es mencionado en la Tarea, que esta serie no puede converger para todos los $z$ ( descuidado physicsy estilo, lo sé : ) ). Wolfram Alpha, dijo, sólo converge para $\,{\rm abs}\left(\, z\,\right) < 1$, lo cual es un indicio de la serie geométrica, pero no tengo idea de cómo tener en cuenta la doble factiorals.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Derivación de la Serie

El Teorema del Binomio dice que $$ \begin{align} (1-x)^{-1/2} &=1+\frac{(-\frac12)}{1}(-x)^1+\frac{(-\frac12)(-\frac32)}{1\cdot2}(-x)^2+\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)}{1\cdot2\cdot3}(-x)^3+\dots\\ &=1+\frac12x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}x^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^3+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4+\dots\\ &=1+\frac{1!!}{2!!}x+\frac{3!!}{4!!}x^2+\frac{5!!}{6!!}x^3+\frac{7!!}{8!!}x^4+\dots \end{align} $$ $n!!=n(n-2)(n-4)\dots(1\text{ or }2)$

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Radio de Convergencia

Tenga en cuenta que $$ 1\le\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=(2n+1)\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le(2n+1) $$ por lo tanto $$ \frac1{2n+1}\le\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le1 $$ Utilizando la fórmula para el Radio de Convergencia, obtenemos $$ \frac1{\limsup\limits_{n\to\infty}1^{1/n}}\le r\le\frac1{\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\frac1{2n+1}\right)^{1/n}} $$ lo que da un radio de convergencia de $1$.

Answer 2

Aquí es una manera de atacar este problema. No voy a escribir el análisis completo, pero lo suficiente para dar una idea. Comenzar con la hipótesis que hemos $$ \frac1{\sqrt{1-z}} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k $$ Entonces, la informática, la plaza, nos encontramos con que $$ \frac1{\sqrt{1-z}} \cdot \frac1{\sqrt{1-z}} = \frac1{1-z}= \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \cdot \sum_{i=0}^\infty a_l z^l $$ Pero que debe ser igual a la habitual serie geométrica, por lo que el problema puede ser visto como "computación en la (convolucional) la raíz cuadrada de la potencia de la serie. Tenemos que $$ \sum_{k=0}^\infty \sum_{i=0}^k a_k a_{l-k} =1, $$ que luego pueden ser resueltos de forma recursiva.