Veo que la forma de una ecuación (por ejemplo) parabólica es $$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0$$ con $B^2-4AC=0$ mientras que la ecuación de una parábola es $$Ax^2 + 2Bxy + Cuy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ con $B^2-4AC=0$ .
Son similares, pero ¿existe una relación más profunda entre estos dos conceptos matemáticos que la mera analogía en sus notaciones?
Es porque el símbolo principal del operador diferencial parcial implicado en el proceso. Se puede pensar en una EDP lineal típica como $$ Pu=0 $$ donde $u$ está en algún espacio de funciones con una posible condición de contorno dada, y $P$ es un operador diferencial lineal como $\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial xy}$ . El símbolo de este operador viene dado por el polinomio $\xi_{2}^{2}+\xi_1^{2}+\xi_1\xi_2,\xi=(\xi_1,\xi_2)$ . Así, en un nivel puramente formal, las EDP (lineales) se clasifican por sus símbolos (principales). Por ejemplo, una ecuación se llama elíptica si su símbolo principal es invertible.
Pero esto deja la pregunta de por qué el símbolo es importante en el proceso de clasificación. Intuitivamente, parece "claro" que la derivada más alta debería importar más. Sin embargo, demostrar esto de forma rigurosa es, de hecho, bastante profundo; una demostración de que los operadores elípticos satisfacen algunas propiedades básicas agradables lleva al menos media página y suele requerir que uno conozca los operadores pseudodiferenciales. Supongo que otros podrán responder mejor a esto. Si puedes seguir, también creo que Klainerman artículo sobre las EDP puede ser útil, en el que discute a fondo la clasificación de las EDP.
Gracias, pero sigue pareciendo que podemos anotar una parábola y una EDP parabólica de forma similar, así que las llamaremos de forma similar. ¿O hay propiedades estudiadas en la teoría de los polinomios que se aplican tanto a las parábolas como a las EDP parabólicas?
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Ver math.stackexchange.com/questions/21525/ .
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@KCd: ¡No lo sabía! Supongo que mi respuesta no es tan buena.
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@Bombyxmori: tu respuesta tiene la virtud de ser corta.
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@KCd: Lo había visto, pero esa pregunta es sobre sus definiciones, en particular si la EDP es no lineal y de más de segundo orden. Mi pregunta es sobre la existencia de alguna relación entre una EDP parabólica y una parábola más allá de sus anotaciones.
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@toliveira: Creo que esto es del mapa de símbolos principales, como escribí abajo. Pero ciertamente esto no funcionaría para las EDP no lineales, en las que luego se habla de semilineales, totalmente no lineales, etc.