¿Por qué exigimos que un conjunto perfecto sea cerrado?

Question

La definición de conjunto perfecto dice

$E$ es perfecto si $E$ es cerrado y si cada punto de $E$ es el punto límite de $E$ .

¿Es posible que cada punto de $E$ es el punto límite de $E$ pero $E$ ¿no está cerrado? No he podido encontrar un ejemplo. Porque se define como conjunto cerrado si cada punto límite de $E$ es un punto de $E$ .

Si no es posible. Entonces, ¿qué necesidad hay de incluir en la definición de conjunto perfecto? ( que si $E$ está cerrado ) Se agradece la ayuda.

Answer 1

Sí, por supuesto. Tenga en cuenta que $\Bbb Q$ no está cerrado en $\Bbb R$ pero cada número racional es el límite de una secuencia de números racionales, todos diferentes de su límite propuesto.

En otras palabras, $\Bbb Q$ no tiene puntos aislados, pero no está cerrado como subconjunto de $\Bbb R$ .

Answer 2

Tomar $(a,b)\subset\mathbb{R}$ . Si $x\in(a,b)$ entonces $\exists a_n\in(a,b):a_n\to x$

Answer 3

Otros ya han dado buenos ejemplos.

Sobre la noción: $E$ está cerrado si $E$ contiene sus puntos límite, o, de manera equivalente $E' \subseteq E$ .

Un conjunto es perfecto cuando además $E \subseteq E'$ (todos los puntos son puntos límite, o no hay puntos aislados) por lo que si $E' = E$ . Así que es un punto fijo del operador de conjunto derivado $E \to E'$ por así decirlo. Esto implica, efectivamente, la cerrazón por el criterio de cerrazón anterior.

Es natural considerar esta noción cuando se parte de algún subconjunto cerrado $E$ y forman los conjuntos derivados sucesivos $E, E', E'', \ldots$ o más formalmente definir $E^{(0)} =E$ , $E^{(\alpha+1)} = (E^{(\alpha)})'$ para todos los ordinales sucesores $\alpha+1$ y $E^{(\alpha)} = \bigcap_{\beta < \alpha} E^{(\beta)}$ cuando $\alpha$ es un ordinal límite. Se puede demostrar que para algún ordinal $\gamma$ , $E^{(\gamma)} = E^{(\gamma+1)}=: K$ y esto $K$ se llama el núcleo perfecto de $E$ . Estas consideraciones llevaron a Cantor a definir los ordinales y a considerar subconjuntos perfectos de los reales.