Que $t_1$, $t_2$,... $t_n$ es una secuencia donde $t_1=2$ y $t_{n+1}=t_n{^2}-t_n+1$. Demostrar eso si $m\ne n$ y $t_m$ y $t_n$ son coprimos.

Question

Vamos $t_1$, $t_2$,$\enspace$.... $t_n$ es una secuencia de números naturales. La secuencia se define por estas igualdades - $t_1=2$ $\enspace$ y $\enspace$ $t_{n+1}=t_n{^2}-t_n+1$. $\enspace$ Probar que si $m\ne n$, $\enspace$ a continuación, $t_m$ $t_n$ son mutuamente primos (coprime).

Lo que he intentado:

la secuencia es: 2, 3, 7; 43, 1807 ...

si $t_m$ $t_n$ son consecutivas $t_n=t_m{^2}-t_m+1$

Deje $d|t_m$ y $d|t_n$ $\Rightarrow$ $d|t_m{^2}-t_m$ y $d|t_m{^2}-t_m+1$ $\Rightarrow$ $d=1$ $\Rightarrow$ $t_m$ y $t_n$ son coprime.

Es más que suficiente para probar?

Cómo probar si $t_m$ $t_n$ no son consecutivos, pero arbitrario?

Answer 1

Usted puede demostrar por inducción que $$ t{n} = 1+ t{n-1}\cdot t_{n-2}\cdot \ldots\cdot t_1 $ $ de que la afirmación es obvia. Esta es la secuencia de Sylvester A000058.

Answer 2

Que $p$ ser una privilegiada. Supongamos que $tn\equiv 0 \pmod p$. Entonces es fácil ver que $t{k}\equiv 1 \pmod p$ para cada $k>n$ tan sólo uno (en la mayoría) de $t_i$ puede ser divisible por $p$.