¿Cuál es el dígito de las unidades de $\sum\limits_{n=1}^{1337} (n!)^4$ ?

Question

¿Cuál es el dígito de las unidades de $\sum\limits_{n=1}^{1337}(n!)^4$ ? Me parece que son 9 pero no estoy seguro.

Answer 1

Sí, $9$ es correcto porque de $n = 5$ y hacia arriba, el dígito de las unidades siempre será cero, así que suma $n!$ de $0$ a $4$ . Y tú lo has hecho:

$$ \begin{align} (1!)^4 & = 1\times1\times1\times1 = 1 \\ (2!)^4 & = 2\times2\times2\times2 = 16 \\ (3!)^4 & = 6\times6\times6\times6 = \dots6 \impliedby {6^n}\mod10 = 6,n\in \mathbb{N}\\ (4!)^4 & = 24\times24\times24\times24 = \dots6 \impliedby 4^{2n}\mod10=6,n\in \mathbb{N}\\ (5!)^4 & = 120\times120\times120\times120 = \dots0\\ \vdots \end{align} $$ Así que sumando los dígitos de la unidad:

$$1+6+6+6 = 19$$

Así que el dígito de la unidad de $\sum\limits^{1337}_{n=1} \left(n!\right)^4$ est $9$

Answer 2

Sugerencia

En mod $10$ tenemos $n!=0$ para $n\ge5$ .

Answer 3

Sugerencia: considere $\pmod{10}$ . ¿Qué es? $5! \pmod{10}$ ?

Answer 4

Tenga en cuenta que después de $5!$ el último dígito será un cero. Así que para los primeros cuatro términos:

$= (1!^4)+(2!^4)+(3!^4)+(4!^4)+(5!^4)...(1337!^4)$

$=1+6+6+6+0+0... $ (Sólo los últimos dígitos)

Por lo tanto, es 9.