Mostrando $(sp-bc)(sq-bc)=bc(s-b)(s-c)$, $s$ el semiperimetro de un triangulo, con $p$ y $q$ determinaron por una tangente de la línea a del círculo inscrito

Question

Tengo el siguiente construcción, como se muestra en la figura. La línea de $QP$ es tangente a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$. El triángulo tiene longitudes de lado dado por $a,b,c$. Estoy tratando de demostrar el resultado que $$(sp-bc)(sq-bc)=bc(s-b)(s-c)$$ donde $s$ es el semiperimeter del triángulo, $p = AP$, e $q = AQ$.

He probado la aplicación de la Ley de los Cosenos por separado para $\triangle APQ$ e $\triangle ABC$, ya que comparten el ángulo de $\angle CAB$, pero no he tenido suerte.

Answer 1

Deje que el habitual $x=s-a=AD=AE$. Sabemos $PQ=PE+QD=2x-p-q$, por lo que el coseno de la regla da $$ \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}=1+\cos A=\frac{(p+q)^2-(2x-p-q)^2}{2pq}=\frac{2x(p+q-x)}{pq}. $$ Compensación denominadores, tenemos $$ pq((b+c)^2-a^2)=2bc\cdot 2x(p+q-x) $$ es decir, $$ pqs-bc(p+q)=-bcx. $$ Multiplicar por $s$ y agregar $b^2c^2$: $$ pqs^2-bc(sp+sq)+b^2 c^2=bc(bc-xs). $$ El LHS es $(sp-bc)(sq-bc)$. En el lado derecho, es el recuerdo de $x=s-a=b+c-s$, por lo que $$ bc(bc-xs)=ac[bc-(b+c-s)s]=bc(s-b)(s-c) $$ como se desee.

Answer 2

Considere lo siguiente:

Debido a los pares de triángulos congruentes, podemos escribir

$$|\triangle ABC| = |\triangle APQ| + 2\,|\triangle BIP| + 2\,|\triangle CIQ| \tag{1}$$ donde $I$ es el incentro de $\triangle ABC$. Por lo tanto, $$\begin{align} |\triangle ABC| - |\triangle APQ| &= r \left(\;(c - p) + (b - q)\;\right) &\left(\;|\triangle BIP|=\frac12r(c-p), \text{etc}\;\right) \tag{2}\\[6pt] s\left(\;|\triangle ABC| - |\triangle APQ|\;\right) &= |\triangle ABC|\, (b+c-p-q) &\left(\;rs=|\triangle ABC|\;\right)\tag{3}\\[6pt] s\left(\;\frac12b c \sin A - \frac12 p q \sin A\;\right) &= \frac12 b c \sin A\, (b+c-p-q) \tag{4}\\[6pt] s\left(\;b c - p q \;\right) &= b c\, (b+c-p-q) \tag{5}\\[6pt] \end{align}$$ El lector fácilmente se comprueba que $(5)$ es, $s \neq 0$, equivalente a la deseada relación. $\square$