Si el límite de $f$ es $L$ y el límite de $g$ es $M$ , entonces el límite de $g$ compuesto $f$ es $M$ ?

Question

El problema:

Encontrar ejemplos de funciones $f$ y $g$ definido en $\mathbb{R}$ con $\lim\limits_{x\to a}f(x) = L$ , $\lim\limits_{y\to L}g(y) = M$ y $\lim\limits_{x\to a} g(f(x))\neq M$ .

He probado varias combinaciones como $f(x) = x$ y $g(y) = y^2$ , $f(x) = b$ y $g(y) = y^2$ y así sucesivamente. Incluso he probado con algunas funciones trigonométricas sin suerte. Me pregunto qué característica estoy intentando "romper" para que las condiciones no se cumplan. Además, como $f$ y $g$ tienen que ser definidos en $\mathbb{R}$ ¿significa eso que algo como $\frac{1}{x}=f(x)$ no es un ejemplo válido ya que no está definido en $x=0$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

La respuesta depende probablemente de la definición de límite. Utilizaré la siguiente definición (de Stewart's Calculus):

Decimos que $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta>0$ tal que, si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-\ell|<\epsilon$ .

$0<|x-a|<\delta$ significa que el valor de $f$ en $a$ no importa. $f$ podría incluso no estar definida en $a$ en absoluto. En algunos libros la condición es $0<|x−a|<δ$ se cambia a $|x-a|<\delta$ . En ese caso, deberías echar un vistazo a la respuesta de @msm.

Si utiliza la definición anterior, considere $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array} \right.$ y $g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x\neq 1 \\ 1, & x=1 \end{array} \right.$ . Entonces $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ y $\lim_{x\to 1}g(x)=0$ . pero $\lim_{x\to 0} g\circ f(x)=1\neq 0$ .

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Tenga en cuenta que, si $f$ es continua en $a$ entonces $\ell=f(a)$ y

si $0<|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-\ell|<\epsilon$

equivale a

si $|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-\ell|<\epsilon$

desde, $|x-a|=0$ significa que $x=a$ y en ese caso, $|f(x)-\ell|=0$ .

Answer 2

No existe tal secuencia en las funciones continuas - pero debería haber muchos ejemplos de este tipo para las funciones con discontinuidades. Los ejemplos que intentas no funcionan porque las funciones son continuas en todas partes. Pero, si te permites tomar una función con algunas discontinuidades, entonces deberías poder tener un ejemplo

Answer 3

Encontrar el ejemplo deseado no es tan difícil si se analizan bien las condiciones dadas. Primero analizamos $\lim_{y\to L} g(y) =M$ . Este límite nos dice algo sobre los valores de $g(y) $ para los valores de $y$ cerca de $L$ pero específicamente no nos dice nada sobre el valor $g(L) $ . Así que vamos a definir $g$ como $g(L) =N\neq M$ y $g(y) =M$ si $y\neq L$ .

Considerar a continuación $\lim_{x\to a} f(x) =L$ y tratamos de encontrar $f$ que toma valores iguales a $L$ en cada barrio de $a$ . Un ejemplo es $$f(x) = L+(x-a) \sin\frac {1}{x-a},f(a)=L$$ Ahora el límite $\lim_{x\to a} g(f(x)) $ no existe. ¿Por qué? Porque en la vecindad de $a$ tenemos algunos valores de $f$ igual a $L$ para que $g(f(x)) =N$ para aquellos valores de $x$ . Para otros valores de $x$ cerca de $a$ tenemos $f(x) $ cerca de $L$ y por lo tanto $g(f(x)) $ está cerca $M$ . Desde $M\neq N$ el límite no existe.

Es un poco sorprendente que muchas respuestas afirmen que esos ejemplos no existen.

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Recuerda siempre la regla del límite para la composición:

Límite de las funciones compuestas : Si $\lim_{x\to a} f(x) =L$ y $f(x) \neq L$ como $x\to a$ y $\lim_{y\to L} g(y) =M$ entonces $\lim_{x\to a} g(f(x)) =M$ .

Esto es un teorema y no encontrarás contraejemplos para ello. Por otro lado, tu pregunta pasa por alto la hipótesis importante $f(x) \neq L$ y así se pueden encontrar ejemplos como se desea específicamente eligiendo funciones $f$ tal que $f(x) =L$ como $x\to a$ .

Answer 4

Simplemente considere $f$ para ser la función constante $f(x)=L$ y considerar $g(x) = M$ para $x \neq L$ y $g(L) \neq M$ .